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习题课一　库仑力作用下的平衡与加速

要点一　库仑力作用下带电体的平衡

1.库仑力作用下的平衡问题

库仑力作用下的平衡问题，可能是只有库仑力，也可能有其他力，但其本质都是平衡问题。解题的关键是进行受力分析并列出平衡方程。

2.“三步”处理库仑力作用下的平衡问题

库仑力作用下电荷的平衡问题与力学中物体的平衡问题处理方式相同，也就是将力进行合成与分解。

【典例1】　如图所示，质量为m、带电荷量为q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，带电荷量也为q的小球B固定在O点正下方的绝缘柱上，其中O点与小球A的间距为l，O点与小球B的间距为l，当小球A平衡时，悬线与竖直方向的夹角θ＝30°，带电小球A、B均可视为点电荷，静电力常量为k，则（　　）

A.A、B间库仑力大小F_库＝

B.A、B间库仑力大小F_库＝

C.细线拉力大小F_T＝

D.细线拉力大小F_T＝mg

答案：B

解析：对小球A进行受力分析如图所示。由对称性可知细线拉力大小等于库仑力大小。根据平衡条件可知F_库 cos 30°＝mg，解得F_库＝，细线拉力大小F_T＝F_库＝，故B正确，A错误；由库仑定律可得A、B间库仑力的大小为F_库＝，细线拉力F_T也为，故C、D错误。

1.人类已探明某星球带负电，假设它是一个均匀带电的球体，将一带负电的粉尘置于该星球表面h处，恰处于悬浮状态。现设科学家将同样的带电粉尘带到距星球表面2h处，无初速释放，则此带电粉尘将（　　）

A.向星球地心方向下落

B.飞向太空

C.仍在那里悬浮

D.沿星球自转的线速度方向飞出

解析：C　均匀带电的星球可视为点电荷。粉尘原来能悬浮，说明它所受的库仑力与万有引力相平衡，即＝G，可以看出，r增大，等式仍然成立，故C正确。

2.（2023·江苏苏州高二月考）如图所示，在倾角为α的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为k₀的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A球连接。A、B、C三小球的质量均为M，q_A＝q₀＞0，q_B＝－q₀，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列。已知静电力常量为k，则（　　）

A.q_C＝q₀

B.弹簧伸长量为

C.A球受到的静电力大小为2Mg

D.相邻两小球间距为q₀

解析：A　以A、B、C整体为研究对象，对其受力分析，受重力、支持力以及弹簧的拉力，则由力的平衡条件可知，弹簧拉力F＝k₀x'＝3Mgsin α，解得x'＝，B错误；以A为研究对象，小球受到的静电力大小为F_A＝F－Mgsin α＝2Mgsin α，方向沿斜面向下，C错误；为了使B、C均能静止在光滑的绝缘斜面上，则小球C应带正电，设相邻两球之间的距离为x，则对小球B由力的平衡条件得Mgsin α＋＝，对小球C由力的平衡条件得Mgsin α＋＝，解得q_C＝q₀，x＝q₀，A正确，D错误。

要点二　三个自由电荷的平衡

1.平衡条件：每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向相反。

2.规律

3.解题思路：解决三个自由点电荷的平衡问题时，首先应根据三个自由点电荷的平衡问题的规律确定出点电荷的电性和大体位置。求点电荷间的距离时，对未知电荷量的电荷列平衡方程；求未知电荷的电荷量时，对其中任意已知电荷量的电荷列平衡方程求解。

【典例2】　a、b两个点电荷相距40 cm，电荷量分别为q₁、q₂，且q₁＝9q₂，都是正电荷。现引入点电荷c，这时a、b、c电荷恰好都处于平衡状态。试问：点电荷c的带电性质是怎样的？电荷量为多大？它应该放在什么地方？

答案：负电荷　q₁　在a、b连线上，与a相距30 cm，与b相距10 cm

解析：设c与a相距x，则c、b相距0.4 m－x，设c的电荷量为q₃，根据二力平衡可列平衡方程。

a平衡，则k＝k

b平衡，则k＝k

c平衡，则k＝k

解其中任意两个方程，可解得x＝0.3 m（c在a、b连线上，与a相距30 cm，与b相距10 cm），q₃＝q₂＝q₁（q₁、q₂为正电荷，q₃为负电荷）。

1.如图所示，光滑绝缘水平面上有三个带电小球a、b、c（可视为点电荷），三球沿一条直线摆放，它们之间仅在静电力的作用下静止，则以下判断正确的是（　　）

A.a对b的静电力可能是斥力

B.a对c的静电力一定是斥力

C.a的电荷量可能比b少

D.a的电荷量一定比c多

解析：B　根据静电力方向来确定各自电性，从而得出“两同夹一异”，因此a对b的静电力一定是引力，a对c的静电力一定是斥力，故A错误，B正确；同时根据库仑定律来确定静电力的大小，并由平衡条件来确定各自电荷量的大小，因此在电荷量大小上一定为“两大夹一小”，则a的电荷量一定比b多，而a的电荷量与c的电荷量无法确定，故C、D错误。

2.如图所示，同一直线上的三个点电荷a、b、c恰好都处在平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用。已知a、b间的距离是b、c间距离r的2倍，a、b、c所带电荷量的绝对值分别为q₁、q₂、q₃。下列说法错误的是（　　）

A.若a、c带正电，则b带负电

B.若a、c带负电，则b带正电

C.q₁∶q₂∶q₃＝36∶4∶9

D.q₁∶q₂∶q₃＝9∶4∶36

解析：D　三个自由电荷在同一直线上处于平衡状态，则一定满足“两同夹异，两大夹小，近小远大”，所以a和c带同种电荷，b带异种电荷，故A、B正确；根据库仑定律和矢量的合成有k＝k＝k，化简可得q₁∶q₂∶q₃＝36∶4∶9，故C正确，D错误。

要点三　库仑力作用下带电体的加速

1.受力情况

带电物体除受到库仑力作用外，还可能受到其他力作用，如重力、弹力、摩擦力等，合外力不为零。

2.运动情况

（1）匀变速直线运动或非匀变速直线运动。

（2）平抛运动或匀速圆周运动。

3.处理方法

（1）对物体进行受力分析。

（2）明确其运动状态。

（3）根据其所受的合力和所处的状态，合理地选择牛顿第二定律、运动学公式、平抛运动知识以及圆周运动知识等相应的规律解题。

【典例3】　如图所示，带电小球A和B（可视为点电荷）放在倾角为30°的光滑固定绝缘斜面上，质量均为m，所带电荷量分别为＋q和－q，沿斜面向上的恒力F作用于A球，可使A、B保持间距r不变、沿斜面向上匀加速运动，已知重力加速度为g，电场力常量为k，求：

（1）加速度a的大小；

（2）F的大小。

答案：（1）－g　（2）2k

解析：（1）根据库仑定律得两球间相互吸引的库仑力为F'＝k＝k

对B球由牛顿第二定律有F'－mgsin 30°＝ma

联立解得加速度为a＝－g。

（2）把A球和B球看成整体，由牛顿第二定律有

F－2mgsin 30°＝2ma，

解得F＝2k。

1.如图所示，光滑绝缘水平面上两个相同的带电小圆环A、B，电荷量均为q，质量均为m，用一根光滑绝缘轻绳穿过两个圆环，并系于结点O。在O处施加一水平恒力F使A、B一起加速运动，轻绳恰好构成一个边长为l的等边三角形，则（　　）

A.小环A的加速度大小为

B.小环A的加速度大小为

C.恒力F的大小为

D.恒力F的大小为

解析：B　设轻绳的拉力为F_T，则对A，有F_T＋F_Tcos 60°＝k，F_Tcos 30°＝ma_A，联立解得a_A＝，B正确，A错误；恒力F的大小为F＝2ma_A＝，C、D错误。

2.如图所示，带电粒子A带正电，带电粒子B带负电，在库仑力作用下（不计粒子间的万有引力和重力），它们以连线上某点O为圆心做匀速圆周运动，以下说法正确的是（　　）

A.它们做圆周运动的向心力大小不相等

B.它们的运动半径与电荷量成反比

C.它们的角速度相等

D.它们的线速度与质量成正比

解析：C　两个带异种电荷的粒子之间的相互作用力为引力，两个粒子不会彼此靠近，和双星相似，两粒子角速度相同，设A质量为m₁，带电荷量为＋q₁，B质量为m₂，带电荷量为－q₂，对A有＝m₁ω²r₁＝m₁＝m₁v₁ω，对B有＝m₂ω²r₂＝m₂＝m₂v₂ω，可知r₁∶r₂＝m₂∶m₁，v₁∶v₂＝m₂∶m₁，C正确。

1.如图所示，在绝缘光滑水平面上，相隔一定距离有两个带同种电荷的小球，同时从静止释放，则两个小球的加速度大小和速度大小随时间变化的情况是（　　）

A.速度变大，加速度变大

B.速度变小，加速度变小

C.速度变大，加速度变小

D.速度变小，加速度变大

解析：C　因电荷间的静电力与电荷的运动方向相同，故电荷将一直做加速运动，又由于两电荷间距离增大，它们之间的静电力越来越小，故加速度越来越小。

2.如图所示，把质量为m的带电小球B用绝缘细绳悬起，若将电荷量为Q的带正电的小球A靠近B，当两个带电小球在同一高度相距为r时，绳与竖直方向成α角，A、B两球均静止，重力加速度为g，静电力常量为k，A、B两个小球均可视为点电荷，下列说法正确的是（　　）

A.B球不带电

B.B球带负电

C.绳对B球的拉力为mgcos α

D.B球带的电荷量为

解析：D　由于A、B之间为库仑斥力，所以B球带正电，A、B错误；

对B球受力分析，如图所示。

根据平衡条件得

F_Tcos α＝mg

F_Tsin α＝F

F＝k

解得F_T＝，q＝，故C错误，D正确。

3.如图所示，用三根长度相同的绝缘细线将三个带电小球连接后悬挂在空中。三个带电小球质量相等，A球带正电，平衡时三根绝缘细线都是直的，但拉力都为0，则（　　）

A.B球和C球都带正电荷

B.B球带负电荷，C球带正电荷

C.B球和C球所带电荷量不一定相等

D.B球和C球所带电荷量一定相等

解析：D　以B为研究对象，B球受重力及A、C对B球的静电力而处于平衡状态，则A、C球对B球的静电力的合力应与重力大小相等、方向相反，而静电力的方向只能沿两电荷的连线方向，则A对B的静电力应指向A，C对B的静电力应指向B的左侧，由此可知，B、C都应带负电荷，A、B错误；由受力分析图可知，A对B的静电力应为C对B静电力的2倍，故C所带电荷量应为A所带电荷量的一半；同理分析C可知，B所带电荷量也应为A所带电荷量的一半，故B、C所带电荷量相等，C错误，D正确。

4.（2023·江苏盐城高二期中）如图所示，粗糙水平面上有一倾角为θ、质量为M的绝缘斜面体，斜面体上有一可视为点电荷的质量为M的物体P。在与P等高（PQ连线水平）且相距为r的右侧固定一个可视为点电荷的物体Q，P、Q所带电荷量相同。P静止且受斜面体的摩擦力为零，斜面体保持静止，已知静电力常量为k，重力加速度为g。求：

（1）P、Q所带电荷量；

（2）斜面体所受地面的摩擦力大小；

（3）斜面体对地面的压力大小。

答案：（1）均为 　（2）Mgtan θ　（3）2Mg

解析：（1）对物体P受力分析，物体P受到水平向左的库仑力F_库，垂直斜面向上的支持力F_N，竖直向下的重力Mg。

根据平衡条件有tan θ＝，

设P、Q所带电荷量的大小为q，由库仑定律得

F_库＝k

解得q＝。

（2）对斜面体和物体P整体受力分析可知，受到竖直向下的重力2Mg，竖直向上的支持力F_支，水平向左的库仑力F_库和水平向右的摩擦力F_f，由水平方向受力平衡有F_f＝F_库＝Mgtan θ。

（3）对斜面体和物体P整体受力分析，竖直方向上受力平衡，所以地面对斜面体的支持力F_支＝2Mg，由牛顿第三定律可知，斜面体对地面的压力大小为2Mg。

考点一　库仑力作用下带电体的平衡

1.如图所示，光滑绝缘水平面上有质量分别为m和2m的小球A、B，两小球带异种电荷。将方向水平向右、大小为F的力作用在B上，当A、B间的距离为L时，两小球可保持相对静止。若改用方向水平向左的力作用在A上，欲使两小球间的距离保持为2L并相对静止，则外力的大小应为（　　）

A.F　 　B.F C.F　 　D.F

解析：B　当方向水平向右、大小为F的力作用在B上，A、B间的距离为L时，有F＝3ma₁，＝ma₁，若改用方向水平向左的力作用在A上，两小球间的距离保持为2L并相对静止时，有F'＝3ma₂，＝2ma₂，联立可得F'＝F，B正确，A、C、D错误。

2.两材质、大小相同的带电小球， 带有等量的同种电荷，用等长的绝缘细线悬挂于O点，如图所示，平衡时，两小球相距r，两小球的直径比r小得多，可视为点电荷，此时两小球之间的静电力大小为F。若将两小球的电荷量同时各减少一半，当它们重新平衡时（　　）

A.两小球间的距离大于

B.两小球间的距离小于

C.两小球间的距离等于

D.两小球间的静电力等于F

解析：A　设两小球带电荷量均为Q，当两小球相距r时，两球间静电力大小为k，此时两细线的夹角为2θ₁。根据两小球处于平衡状态，有k＝mgtan θ₁。当两小球所带电荷量都减半时，重新达到平衡，两细线的夹角减小，设此时两细线的夹角为2θ₂，两小球相距r'，则有k＝mgtan θ₂。易知θ₁＞θ₂，则k＞k，所以r²＜4r'²，解得r'＞，故A正确。

3.（2023·江苏南通高二期末）如图所示，V形对接的绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面夹角均为α＝60°，其中斜面N光滑。两个质量相同的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q连线垂直于斜面M，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则P与M间的动摩擦因数至少为（　　）

A.　　 B. C.　　 D.

解析：D　滑块Q在光滑斜面N上静止，则由平衡条件可知，P与Q带同种电荷，两者之间为库仑斥力，设为F，两滑块的受力分析和相关角度如图所示，对Q，沿斜面方向有mgcos 30°＝Fcos 30°，可得F＝mg，对P，当P与M间的动摩擦因数最小时有N₂＝F'＋mgsin 30°，f＝μN₂，又f＝mgcos 30°，F＝F'联立解得μ＝，选项D正确。

4.如图所示，在光滑绝缘的水平桌面上有四个小球a、b、c、d，所带电荷量分别为－q、＋Q、－q、＋Q。四个小球构成一个菱形，a、c的连线与a、d的连线之间的夹角为α。若此系统处于平衡状态，则下列关系式正确的是（　　）

A.cos³α＝ B.cos³α＝

C.sin³α＝ D.sin³α＝

解析：A　设菱形边长为l，则b、d之间的距离为2lsin α，a、c之间的距离为2lcos α。选取a作为研究对象，由库仑定律和平衡条件得2kcos α＝k，解得cos³α＝，选项A正确，B错误；选取d作为研究对象，由库仑定律和平衡条件得2ksin α＝k，解得sin³α＝，选项C、D错误。

考点二　三个自由电荷的平衡

5.如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电＋Q，B带电－9Q。现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在电场力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为（　　）

A.正，B的右边0.4 m处

B.正，B的左边0.2 m处

C.负，A的左边0.2 m处

D.负，A的右边0.2 m处

解析：C　要使三个电荷均处于平衡状态，必须满足“两同夹异”“两大夹小”“近小远大”的原则，所以点电荷C应在A左侧，带负电。设C带电荷量为q，A、C间的距离为x，A、B间距离用r表示，由于处于平衡状态，所以k＝，解得x＝0.2 m，选项C正确。

6.如图所示，带电荷量分别为＋q和＋4q的两点电荷A、B，相距L，问：

（1）若A、B固定，在何处放置点电荷C，才能使C处于平衡状态？

（2）在（1）中的情形下，C的电荷量大小和电性对C的平衡有影响吗？

（3）若A、B不固定，在何处放一个什么性质的点电荷D，才可以使A、B、D三个点电荷都处于平衡状态？

答案：见解析

解析：（1）对C进行受力分析，由平衡条件可知，C应在A、B的连线上且在A、B之间，设C与A相距r，则有＝，解得r＝。

（2）C放置在距离A为处时，不论C为正电荷还是负电荷，A、B对其作用力的合力均为零，故C的电荷量大小和电性对其平衡无影响。

（3）A、B不固定，若将D放在A、B电荷外侧，A、B对D的作用力同为向左（或向右）的力，D不能平衡；若将D放在A、B之间，D为正电荷时，A、B都不能平衡，所以D为负电荷。设放置的点电荷的电荷量大小为Q，与A相距r₁，分别对A、B受力分析，根据平衡条件

对点电荷A，有＝

对点电荷B，有＝

联立可得r₁＝，Q＝q，即应在A的正右方与A相距处放置一个电荷量为q的负电荷，可以使A、B、D三个点电荷都处于平衡状态。

考点三　库仑力作用下带电体的加速

7.如图所示，在光滑绝缘水平面上，三个质量均为m的带电小球分别固定在直角三角形ABC的三个顶点上，∠ABC＝30°，AC边长为l。已知A、B、C三个顶点上的小球所带电荷量分别为＋q、＋4q、－q，在释放顶点C处小球的瞬间，其加速度大小为（　　）

A.　　B. C.　　D.

解析：A　C处小球受到A处小球的库仑引力为F_AC＝，C处小球受到B处小球的库仑引力为F_BC＝＝，且两力的夹角为60°，则合力为F＝2×cos 30°＝，则加速度大小为a＝＝，故选项A正确。

8.如图，氢原子核内只有一个质子，核外有一个电子绕核旋转，轨道半径为r，质子和电子的电荷量均为e，电子的质量为m₁，质子的质量为m₂，微观粒子之间的静电力远远大于相互间的万有引力，因此可以不计万有引力的作用，静电力常量为k，则电子绕核旋转的线速度大小为（　　）

A.　 B. C.　 D.

解析：A　静电力提供向心力，则k＝m₁，解得v＝，A正确。

9.如图所示，在光滑水平面上有A、B、C三个质量均为m的小球，A带正电，B带负电，C不带电，A、B带电荷量的绝对值均为Q，B、C两个小球用绝缘细绳连接在一起，当用外力F拉着A球向右运动时，B、C也跟着A球一起向右运动，在运动过程中三个小球保持相对静止共同运动，已知静电力常量为k，则（　　）

A.B、C间绳的拉力大小为F

B.B、C间绳的拉力大小为F

C.A、B两球间距离为

D.A、B两球间距离为

解析：B　选取A、B、C作为整体研究，依据牛顿第二定律，则有F＝3ma，对C受力分析，设B、C间绳的拉力大小为T，由牛顿第二定律有T＝ma，解得T＝F，故A错误，B正确；对A受力分析，其受到拉力F及库仑力F'的作用，由牛顿第二定律有F－F'＝ma，解得F'＝F，由库仑定律有F'＝，解得A、B间距离L_AB＝，故C、D错误。

10.水平面上A、B、C三点固定着三个电荷量均为Q的正点电荷，将另一质量为m的带正电的小球（可视为点电荷）放置在O点，OABC恰构成一棱长为L的正四面体，如图所示。已知静电力常量为k，重力加速度为g，为使小球能静止在O点，小球所带的电荷量为（　　）

A.　B. C.　D.

解析：C　设AO、BO、CO三条棱与水平面的夹角为θ，由几何关系可知sin θ＝，对带正电的小球根据平衡条件可得3ksin θ＝mg，联立解得q＝，选项C正确。

11.（2023·江苏昆山高二期中）如图所示，完全相同的金属小球A和B带有等量异种电荷，中间连有一轻质绝缘弹簧，放在光滑的水平面上，平衡时弹簧的压缩量为x₀，现将不带电的与A、B完全相同的另一个小球C与A接触一下，然后拿走C，待A、B重新平衡后弹簧的压缩量为x，则（　　）

A.x＝ B.x＞

C.x＜ D.x＝x₀

解析：C　平衡时小球间的库仑力大小等于弹簧弹力。第一次平衡有kx₀＝，C与A接触后，A所带电荷量变为原来的一半，再次平衡时有kx＝。若r'＝r，则此时弹簧弹力F＝kx₀，压缩量刚好为原来的一半，但实际上r'＞r，所以弹簧的压缩量小于，故C正确。

12.如图所示，在倾角为α的足够长光滑绝缘斜面上放置两个质量分别为2m和m的带电小球A和B（均可视为点电荷），它们相距为L。两球同时由静止开始释放时，B球的加速度恰好等于零。经过一段时间后，当两球距离为L'时，A、B的加速度大小之比为a₁∶a₂＝11∶5。已知重力加速度为g，静电力常量为k。

（1）若B球带正电荷且电荷量为q，求A球所带电荷量Q及电性；

（2）在（1）条件下求L'与L的比值。

答案：（1）　正电荷　（2）

解析：（1）由初始B球的加速度等于零及B球带正电荷，可知A球带正电荷。

对B球受力分析，沿斜面方向B球受到的合力为零，即

F₀－mgsin α＝0

根据库仑定律得F₀＝k

解得Q＝。

（2）两球距离为L'时，A球加速度方向沿斜面向下，根据牛顿第二定律有F＋2mgsin α＝2ma₁

B球加速度方向沿斜面向下，根据牛顿第二定律有

mgsin α－F'＝ma₂

依题意有a₁∶a₂＝11∶5

由牛顿第三定律得F＝F'

解得F'＝mgsin α

又F'＝k

解得＝。