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第十章　静电场中的能量

1.电势能和电势

知识点一　静电力做功的特点　电势能

1.静电力做功的特点

在电场中移动电荷时，静电力所做的功与电荷的　起始　位置和　终止　位置有关，与电荷经过的路径　无关　。

2.电势能

（1）定义：电荷在　电场　中具有的势能，用E_p表示。

（2）静电力做功与电势能变化的关系

①关系式：W_AB＝　E_pA－E_pB　。

②静电力做正功，电势能　减少　；静电力做负功，电势能　增加　。

3.电势能的大小

（1）先规定　零　势能位置。通常规定电荷在离场源电荷　无限远　处或电荷在　大地表面　电势能为零。

（2）电荷在某点的电势能，等于把它从这点移到　零势能位置　时静电力所做的功。

知识点二　电势

1.定义：电荷在电场中某一点的　电势能　与它的电荷量之比。

2.定义式：φ＝　　。

3.单位：在国际单位制中，电势的单位是　伏特　，符号是　V　。

4.与电场线方向的关系：沿着电场线方向电势逐渐　降低　。

5.标矢性：电势是标量，只有大小，没有方向，但有　正负　之分。

【情景思辨】

如图所示，一个不计重力的试探电荷在匀强电场中a点由静止释放运动到b点。

（1）图中的电荷为正电荷，释放后静电力做正功，电荷的电势能减小。（　√　）

（2）电荷的电势能是相对的，其大小与规定的零势能点有关。（　√　）

（3）电场中a点电势低于b点电势。（　×　）

（4）电荷从a点运动到b点，其电势能的变化量由静电力做功决定。（　√　）

要点一　静电力做功与电势能变化的关系

【探究】

如图是某种静电矿料分选器的原理示意图，带电矿粉经漏斗落入水平匀强电场后，分落在收集板中央的两侧。在矿粉分离的过程中，静电力对矿粉做正功还是做负功？矿粉的电势能如何变化？

提示：正功，电势能减少。

【归纳】

1.电势能的性质

2.电势能大小的四种判断方法

（1）做功判断法：电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大。

（2）电荷电势法：正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大。

（3）公式法：由E_p＝qφ，将q、φ的大小、正负号一起代入公式进行判断。

（4）能量守恒法：在电场中，若只有电场力做功，电荷的动能和电势能相互转化，动能增大时，电势能减小，反之电势能增大。

【典例1】　将电荷量为6×10^－6 C的负电荷从电场中的A点移到B点，克服静电力做了3×10^－5 J的功，再从B移到C，静电力做了1.2×10^－5 J的功，则：

（1）该电荷从A移到B，再从B移到C的过程中，电势能共改变了多少？

（2）如果规定A点的电势能为零，则该电荷在B点和C点的电势能分别为多少？

答案：（1）增加1.8×10^－5 J　（2）3×10^－5 J

1.8×10^－5 J

解析：（1）负电荷从A移到C，静电力做的功W_AC＝－3×10^－5 J＋1.2×10^－5 J＝－1.8×10^－5 J，电势能增加1.8×10^－5 J。

（2）W_AB＝E_pA－E_pB＝－3×10^－5 J，又E_pA＝0，则E_pB＝3×10^－5 J。W_AC＝E_pA－E_pC＝－1.8×10^－5 J，又E_pA＝0，则E_pC＝1.8×10^－5 J。

1.一个电荷只在静电力作用下从电场中的A点移到B点时，静电力做了5×10^－6 J的功，那么（　　）

A.电荷在B点将具有5×10^－6 J的电势能

B.电荷在B点将具有5×10^－6 J的动能

C.电荷的电势能增加了5×10^－6 J

D.电荷的动能增加了5×10^－6 J

解析：D　电荷只在静电力作用下从电场中的A点移到B点时，静电力做正功，电势能减少，静电力做了多少正功，电荷的电势能就减少多少，由动能定理可知，动能就增加多少。因电荷在A点的动能和电势能不知道，所以不能确定电荷在B点的动能和电势能，故选项A、B、C错误，D正确。

2.如图所示，在真空中有两个带电荷量相等的正电荷q₁和q₂，它们分别固定在A、B两点，CD为A、B连线的中垂线。现将正电荷q₃由C沿CD移至无限远处，在此过程中（　　）

A.q₃的电势能逐渐增加

B.q₃的电势能先逐渐增加，后逐渐减少

C.q₃受到的静电力逐渐减小

D.q₃受到的静电力先逐渐增大，后逐渐减小

解析：D　根据电场的叠加可知，CD线上各点场强方向均由C指向D，C点的场强为零，无穷远处场强也为零，所以将q₃由C点沿CD移至无穷远的过程中，场强先逐渐增大，后逐渐减小，q₃受到的静电力先逐渐增大，后逐渐减小，C错误，D正确；静电力一直对q₃做正功，q₃的电势能不断减小，A、B错误。

要点二　电势的理解和计算

1.电势的性质

2.电势高低的三种判断方法

（1）依据电场线方向：沿电场线方向电势逐渐降低。

（2）电荷的正负：取无限远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低。

（3）依据电势能的高低：正电荷电势能大处电势较高，负电荷电势能大处电势较低。

【典例2】　如果把q＝1.0×10^－8 C的正电荷从无限远处移到电场中的A点，需要克服静电力做功W＝1.2×10^－4 J，那么：

（1）q在A点的电势能和A点的电势各是多少？

（2）q未移入电场前，A点的电势是多少？

答案：（1）1.2×10^－4 J　1.2×10⁴ V　（2）1.2×10⁴ V

解析：（1）静电力做负功，电势能增加，无限远处的电势为零，电荷在无限远处的电势能也为零，即φ_∞＝0，E_p∞＝0。由W_∞A＝E_p∞－E_pA得E_pA＝E_p∞－W_∞A＝0－（－1.2×10^－4 J） ＝1.2×10^－4 J

那么φ_A＝＝1.2×10⁴ V。

（2）A点的电势是由电场本身决定的，跟A点是否有电荷存在无关，所以q未移入电场前，A点的电势仍为1.2×10⁴ V。

1.如图所示，a、b、c是电场中的三个点，其电场强度大小分别为E_a、E_b、E_c，电势分别为φ_a、φ_b、φ_c。下列说法正确的是（　　）

A.E_a＜E_b＜E_c B.E_a＝E_b＝E_c

C.φ_a＞φ_b＞φ_c D.φ_a＝φ_b＞φ_c

解析：C　电场线密的地方场强大，疏的地方场强小，题图所示三点中，a点处电场线最密，则a点的电场强度最大；c点处电场线最稀疏，则c点的电场强度最弱，所以有E_a＞E_b＞E_c，故A、B错误；沿着电场线方向，电势逐渐降低，则有φ_a＞φ_b＞φ_c，故C正确，D错误。

2.（2023·江苏南通高二期末）某电场在直角坐标系中的电场线分布情况如图所示，O、M、N为电场中的三个点，则由图可得（　　）

A.M点的电场强度小于N点的电场强度

B.M点的电势低于N点的电势

C.将一负电荷由O点移到M点电势能减少

D.将一正电荷从O点分别移到M点和N点，电场力做功相同

解析：B　M点的电场线较N点密集，故M点的电场强度大于N点的电场强度，选项A错误；顺着电场线方向电势降低，故M点的电势低于N点的电势，选项B正确；O点电势高于M点，故将一负电荷由O点移到M点电势能增加，选项C错误；因M、N点电势不相等，正电荷在M、N两点所具有的电势能也不相等，所以正电荷从O点分别移到M点和N点电势能的变化量不相同，电场力做功也不相同，选项D错误。

1.如图所示，在匀强电场中有A、B两点，将一电荷量为q的正点电荷从A点移到B点，第一次沿直线AB移动该电荷，静电力做功为W₁；第二次沿路径ACB移动该电荷，静电力做功为W₂；第三次沿曲线ADB移动该电荷，静电力做功为W₃，则（　　）

A.W₁＞W₂＞W₃ B.W₁＜W₂＜W₃

C.W₁＝W₂＝W₃ D.W₁＝W₂＞W₃

解析：C　假设A、B两点相距为l，直线AB与电场线的夹角为θ（θ＜90°），根据功的定义可知，静电力做的功均为qElcos θ，故沿三种路径移动该电荷，静电力做功相等，选项C正确，A、B、D错误。

2.某电场区域的电场线如图所示，a、b是其中一条电场线上的两点，下列说法正确的是（　　）

A.负电荷在a点受到的静电力小于它在b点受到的静电力

B.a点的电场强度方向沿着a点的电场线向左

C.正电荷在a点的电势能小于它在b点的电势能

D.a点处的电场强度大于b点处的电场强度

解析：D　电场线的疏密可以判断电场强度的大小，a点处比b点处电场线密，所以a点处电场强度大，电荷在该点的静电力大，A错误，D正确；a点的电场强度方向为该点的电场线方向，向右，B错误；沿电场线方向电势降低，a点电势大于b点电势，所以正电荷在a点处的电势能大于在b点处的电势能，C错误。

3.将一正电荷从无限远处移入电场中的M点，电势能减少了8.0×10^－9 J，若将另一等量的负电荷从无限远处移入电场中的N点，电势能增加了9.0×10^－9 J，则下列判断中正确的是（　　）

A.φ_M＜φ_N＜0 B.φ_N＞φ_M＞0

C.φ_N＜φ_M＜0 D.φ_M＞φ_N＞0

解析：C　取无限远处的电势为零，则正电荷在M点的电势能为－8.0×10^－9 J，负电荷在N点的电势能为9.0×10^－9 J。由φ＝知，M点的电势φ_M＜0，N点的电势φ_N＜0，且｜φ_N｜＞｜φ_M｜，则φ_N＜φ_M＜0，故C正确。

4.（2023·北京高考8题）如图所示，两个带等量正电荷的点电荷位于M、N两点上，E、F是MN连线中垂线上的两点，O为EF、MN的交点，EO＝OF。一带负电的点电荷在E点由静止释放后（　）

A.做匀加速直线运动

B.在O点所受静电力最大

C.由E到O的时间等于由O到F的时间

D.由E到F的过程中电势能先增大后减小

解析：C　带负电的点电荷在E点由静止释放，将以O点为平衡位置做简谐运动，在O点所受电场力为零，故A、B错误；根据运动的对称性可知，点电荷由E到O的时间等于由O到F的时间，故C正确；点电荷由E到F的过程中电场力先做正功后做负功，则电势能先减小后增大，故D错误。

5.两个相同的负电荷和一个正电荷附近的电场线分布如图所示。c是两负电荷连线的中点，d点在正电荷的正上方，c、d到正电荷的距离相等，则（　　）

A.a点的电场强度比b点的小

B.a点的电势比b点的高

C.c点的电场强度比d点的小

D.c点的电势比d点的低

解析：D　电场线的疏密反映电场强度的大小，结合题图可知a点的电场强度比b点的电场强度大，A项错误；a点电势与左侧负电荷附近且与b点在同一电场线上的某点电势相等，又顺着电场线的方向电势逐渐降低，因此b点电势比a点电势高，B项错误；两个负电荷在c点的合电场强度为零，而在d点的合电场强度方向向下，正电荷在c、d两点电场强度大小相等，方向相反，因此电场叠加后c点电场强度比d点电场强度大，C项错误；在正电荷的电场中，c、d两点的电势相等，而在负电荷的电场中离负电荷越远的地方电势越高，因此d点电势比c点电势高，D项正确。

考点一　静电力做功与电势能变化的关系

1.把负点电荷沿电场线方向由a点移至c点的过程中，关于静电力对电荷所做的功和电荷电势能的变化，下列说法正确的是（　　）

A.静电力做正功，电势能增加

B.静电力做正功，电势能减少

C.静电力做负功，电势能增加

D.静电力做负功，电势能减少

解析：C　把负点电荷沿电场线由a点移至c点的过程中，受力方向与位移方向相反，所以静电力做负功，电势能增加，故C正确，A、B、D错误。

2.如图所示，实线为两点电荷形成的电场线，若不计重力的带电粒子仅在静电力作用下从C点运动到D点，轨迹如图中虚线所示，则下列说法中错误的是（　　）

A.由C到D过程中静电力对带电粒子做正功

B.由C到D过程中带电粒子动能减小

C.粒子带正电

D.A电荷的电荷量大于B电荷的电荷量

解析：B　根据带电粒子仅在静电力作用下从C点运动到D点的轨迹，可判断所受静电力大体指向弯曲一侧，结合某点的切线方向，即为速度方向，从而判断粒子带正电，根据电场线的分布情况可知，带电粒子从C到D的过程中，静电力的方向与运动方向的夹角小于90°，静电力对其做正功，电势能减小，动能增大，故A、C正确，B错误。根据电场线的疏密程度可知，A电荷的电荷量大于B电荷的电荷量，故D正确。

3.如图所示，在光滑绝缘的水平面上放置两个带异种电荷、电荷量不同的小球Q₁和Q₂，则由静止释放后（　　）

A.两小球的加速度逐渐增大

B.两小球的电势能逐渐增大

C.两小球受到的库仑力不做功

D.两小球受到的库仑力大小不相等

解析：A　两球带异种电荷，两者相互吸引，距离减小，根据库仑定律F＝k，可知两小球受的库仑力均在增大，根据牛顿第二定律F＝ma，可知两小球的加速度均逐渐增大，故A正确；两小球都在库仑力作用下做加速运动，动能增大，库仑力做正功，电势能减小，故B、C错误；两小球受到的库仑力是作用力与反作用力，由牛顿第三定律知两小球受到的库仑力大小相等、方向相反，故D错误。

4.如图所示，在暴雨前，有一带电云团（可近似看作带电绝缘球）正慢慢靠近地面，某野外地面附近有一质量较小的带电体被吸上天空，带电体在上升过程中，以下说法正确的是（　　）

A.带电体的电势能一定越来越大

B.带电体所经过的不同位置的电势一定越来越高

C.带电体所经过的不同位置的电场强度一定越来越大

D.带电体的加速度一定越来越小

解析：C　带电体在上升的过程中，静电力做正功，电势能减小，故A错误；由于不知道云层所带电荷的电性，所以带电体上升的过程中，不能判断出电势如何变化，故B错误；因为越靠近场源，电场强度越大，所以带电体在上升中所处位置的电场强度越来越大，故C正确；根据电场强度越来越大，则静电力越来越大，合力越来越大，根据牛顿第二定律知，加速度越来越大，故D错误。

考点二　电势的理解和计算

5.（2023·江苏镇江高二月考）在带电荷量为q的点电荷形成的电场中有一点A，当一个带电荷量为－q的检验电荷从电场的无限远处（电势为零）被移到电场中的A点时，静电力做的功为W，则检验电荷在A点的电势能及电场中A点的电势分别为（　　）

A.E_pA＝－W，φ_A＝

B.E_pA＝W，φ_A＝－

C.E_pA＝W，φ_A＝

D.E_pA＝－W，φ_A＝－

解析：A　无限远处电势为零，当检验电荷的电势能也为零，当检验电荷从电场的无限远处被移到电场中的A点时，静电力做的功为W＝E_p0－E_pA，可得检验电荷在A点的电势能E_pA＝－W，根据电势的定义可得φ_A＝＝，故A正确，B、C、D错误。

6.如图所示，真空中某正点电荷O左右两边相等距离处有两点A、B，则（　　）

A.A点电场强度和B点电场强度相同

B.A点的电势比B点的电势高

C.一带正电的试探电荷在A点的电势能比在B点的大

D.将一带正电的试探电荷从A点沿直线向正点电荷O移动的过程中，静电力做负功

解析：D　A、B两点关于O点对称，根据正点电荷的电场线分布情况可知，A、B两点电场强度的大小相等，方向不同，故A错误；根据对称性可知，A、B两点的电势相等，B错误；根据E_p＝φq，A、B两点电势相等，可知带正电的试探电荷在A点的电势能与在B点的电势能相等，C错误；将一带正电的试探电荷从A点沿直线向正点电荷O移动的过程中，静电力方向与试探电荷运动方向相反，静电力做负功，D正确。

7.如图所示，在M、N处固定着两个等量异种点电荷，在它们的连线上有A、B两点，已知MA＝AB＝BN。下列说法正确的是（　）

A.A、B两点场强相同

B.A、B两点电势相等

C.将一正电荷从A点移到B点，电场力做负功

D.负电荷在A点的电势能大于在B点的电势能

解析：A　由点电荷的场强合成可知A和B两点场强方向均向右，大小相等，选项A正确；沿着电场线方向电势逐渐降低，则φ_A＞φ_B，选项B错误；正电荷从A点移到B点，所受电场力与运动方向相同，电场力做正功，选项C错误；E_p＝qφ，因为q＜0，所以E_pA＜E_pB，选项D错误。

8.将一电荷量为＋Q的小球放在不带电的金属球附近，稳定后所形成电场的电场线分布如图所示，a、b为电场中的两点，则（　　）

A.a点的电场强度比b点的小

B.a点的电势比b点的低

C.检验电荷－q在a点的电势能比在b点的大

D.将检验电荷－q从a点移到b点的过程中，静电力做负功

解析：D　电场线的疏密表示电场强度的大小，据图可知，a点的电场强度比b点的电场强度大，故A错误； a点所在处的电场线从Q发出到不带电的金属球终止，所以a点的电势高于金属球的电势，而b点所在处的电场线从金属球发出到无穷远，所以金属球的电势高于b点的电势，所以a点的电势比b点的电势高，故B错误； 电势越高的地方，负电荷具有的电势能越小，即负电荷在a点的电势能比b点的小，把检验电荷－q从电势能小的a点移动到电势能大的b点，电势能增大，静电力做负功，故C错误，D正确。

9.在某个空间中有一匀强电场如图所示，放入一点电荷，将它由点A移至点B，静电力做功3×10^－3 J。则下列说法正确的是（　　）

A.A点的电势比B点低

B.点电荷带负电

C.该过程中，点电荷的电势能减少了3×10^－3 J

D.该过程中，点电荷的动能减少了3×10^－3 J

解析：C　沿着电场线方向电势降低，因此A点电势比B点高，A错误；从A运动到B的过程中，静电力做正功，因此电荷受静电力的方向与电场线方向相同，点电荷带正电，B错误；由于静电力做的正功等于电势能的减少量，因此该过程中，点电荷的电势能减少了3×10^－3 J，C正确；如果仅由静电力做功，根据动能定理，动能增加3×10^－3 J，如果还有其他的力，无法判断动能的变化，D错误。

10.（2023·江苏苏州高二期中）真空中等量异种点电荷A、B周围的电场分布情况如图所示，图中O点为两点电荷连线的中点，M、N为两点电荷连线的中垂线上的两点，OM＝ON，P、Q关于O点对称。下列说法中正确的是（　　）

A.P、Q两点电势相同

B.在P点由静止释放一试探电荷，电荷可沿直线运动到Q点

C.同一试探电荷在O、P、Q三点受到的静电力方向相同

D.O、M、N三点的电场强度的大小关系是E_M＝E_N＜E_O

解析：D　P点的电势与关于两点电荷连线的对称点电势相等，根据几何关系知P关于两点电荷连线的对称点与Q在同一条电场线上，由沿着电场线方向电势逐渐降低可知P、Q两点电势不相同，故A错误；在P点由静止释放一试探电荷，试探电荷运动过程中所受静电力方向不断改变，不可能沿直线运动到Q点，故B错误；根据对称性可知同一试探电荷在P、Q两点受到的静电力方向相同，但与在O点受到的静电力方向不同，故C错误；根据电场线的疏密程度可知E_M＝E_N＜E_O，故D正确。

11.真空中有两个固定的带正电的点电荷，电荷量不相等。一个带负电的试探电荷置于二者连线上的O点时，仅在静电力的作用下恰好保持静止状态。过O点作两正电荷连线的垂线，以O点为圆心的圆与连线和垂线分别交于a、c和b、d，如图所示。以下说法正确的是（　　）

A.a点电势低于O点

B.b点电势高于c点

C.该试探电荷在a点的电势能大于在b点的电势能

D.该试探电荷在c点的电势能小于在d点的电势能

解析：D　由题意可知O点合电场强度为零，根据同种电荷之间电场线的分布可知aO之间电场线由a到O，故a点电势高于O点电势，A错误；根据同种电荷间电场线的分布情况可知b点电势低于c点电势，B错误；根据电场线分布可知负电荷从a到b静电力做负功，电势能增加，即该试探电荷在a点的电势能小于在b点的电势能，C错误；同理根据电场线分布可知负电荷从c点到d点静电力做负功，电势能增加，即该试探电荷在c点的电势能小于在d点的电势能，D正确。

12.如图所示，正三角形三个顶点固定三个等量电荷，其中A、B带正电，C带负电，O、M、N为AB边的四等分点，下列说法正确的是（　　）

A.M、N两点电场强度相同

B.M、N两点电势相同

C.负电荷在M点电势能比在O点时要大

D.负电荷在N点电势能比在O点时要大

解析：B　根据电场强度叠加原理以及对称性可知，M、N两点的电场强度大小相同，但是方向不同，A错误；由对称性可知在A、B处的正电荷在M、N两点产生的电势相等，在C点的负电荷在M、N两点产生的电势也相等，则M、N两点电势相等，B正确；负电荷从M移到O，因A、B两电荷对负电荷的库仑力的合力从O指向M，则该力对负电荷做负功，C点的负电荷也对该负电荷做负功，可知三个电荷对该负电荷的合力对其做负功，则该负电荷的电势能增加，即负电荷在M点的电势能比在O点小，同理可知负电荷在N点的电势能比在O点小，C、D错误。

13.如图所示，在同一条电场线上有A、B、C三点，三点的电势分别是φ_A＝5 V、φ_B＝－2 V、φ_C＝0，将电荷量q＝－6×10^－6 C的点电荷从A移到B，再移到C。

（1）该电荷在A点、B点、C点具有的电势能各是多少？

（2）将该电荷从A移到B和从B移到C，电势能分别变化了多少？

（3）将该电荷从A移到B和从B移到C，静电力做功分别是多少？

答案：（1）－3×10^－5 J　1.2×10^－5 J　0

（2）增加4.2×10^－5 J　减少1.2×10^－5 J

（3）－4.2×10^－5 J　1.2×10^－5 J

解析：（1）根据公式φ＝可得E_p＝qφ

所以该电荷在A点、B点、C点具有的电势能分别为

E_pA＝qφ_A＝－6×10^－6×5 J＝－3×10^－5 J

E_pB＝qφ_B＝－6×10^－6×（－2）J＝1.2×10^－5 J

E_pC＝qφ_C＝－6×10^－6×0 J＝0。

（2）将该电荷从A移到B，电势能的变化量为

ΔE_pAB＝E_pB－E_pA＝1.2×10^－5 J－（－3×10^－5）J＝4.2×10^－5 J

即电势能增加了4.2×10^－5 J

将该电荷从B移到C，电势能的变化量为

ΔE_pBC＝E_pC－E_pB＝0－1.2×10^－5 J＝－1.2×10^－5 J

即电势能减少了1.2×10^－5 J。

（3）将该电荷从A移到B，静电力做的功为

W_AB＝E_pA－E_pB＝－4.2×10^－5 J

将该电荷从B移到C，静电力做的功为

W_BC＝E_pB－E_pC＝1.2×10^－5 J。