我国计划在2030年前实现载人登月。假设航天员来到月球表面开展科学探究，如图甲所示，航天员驾驶一辆质量为m（包括航天员）的月球探测车前往月球表面的一个不太深且可看做部分球面的陨石坑内进行科学考察，探测车上安装有速度传感器与压力传感器，它们分别可测量车速大小与车对地面的压力大小。在探测车经过陨石坑最低点时获取两传感器测出的车速与车对地面压力的数据。航天员通过改变车速，多次重复测出每次探测车在陨石坑最低点时的车速v与相应车对地面的压力
，用多次测出的数据通过车载计算机软件拟合出，
图像如图乙中直线所示，软件自动计算此直线在纵轴上的截距为a，直线斜率为k，已知月球半径为R，引力常量为G，不考虑探测车的大小。求：
（1）陨石坑的半径r；
（2）月球的质量M；
（3）月球的第一宇宙速度v1。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【知识点】拱桥和凹桥模型、类比地球求解其他星球的宇宙速度
【详解】（1）设月球表面的重力加速度为g。车对地面的压力
与地面对车的支持力等大反向，故探测车在陨石坑最低点处，由牛顿第二定律有
即
由图乙知
可得
（2）由图乙知，纵轴截距
又
可得
（3）在月球表面附近，由万有引力提供向心力，可得
可得
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