某工厂生产一种边长
的正方体泡沫金属颗粒，由于生产过程中气泡含量的不同，导致颗粒的质量不同（体积与表面材料均无偏差），为筛选颗粒，设计了如图所示装置。产出的颗粒不断从A处静止进入半径为
的光滑四分之一圆轨道AB，B处与一顺时针非常缓慢转动的粗糙传送带相切，传送带足够长，CE、FG均为水平光滑轨道，圆心为O、半径
的光滑圆轨道E、F处略微错开且与水平轨道相接，D为带轻质滚轮的机械臂，可在颗粒经过时提供竖直向下的恒定压力F，颗粒右侧刚到达滚轮最低点时的速度可忽略不计，滚轮逆时针转动且转速足够快，滚轮与颗粒之间的摩擦系数
（摩擦力对颗粒作用距离可认为是颗粒边长），I、II、III为颗粒的收集区域（颗粒落到收集区直接被收集不反弹），其中I、II的分界点为圆心O，且I、II与圆轨道之间留有恰好可容颗粒通过的距离。颗粒在圆轨道中运动时可看做质点，颗粒在被收集之前相互之间没有发生碰撞，质量最大颗粒恰好被II最右端收集，质量为
的颗粒恰好能被III收集，不计一切空气阻力，重力加速度为
。求：
(1)质量为
颗粒到达B处时对轨道的压力大小；
(2)机械臂提供的恒定压力F的大小；
(3)Ⅱ、III两个区域各自收集到颗粒的质量范围。
【答案】(1)
(2)
(3)
或（
）；
【知识点】斜抛运动、绳球类模型及其临界条件、应用动能定理解多段过程问题
【详解】（1）对颗粒根据动能定理得
在B点根据牛顿第二定律得合外力提供向心力
联立解得
根据牛顿第三定律知该颗粒到达B处时对轨道的压力大小为
。
（2）质量为
的颗粒恰好被Ⅲ收集，故其恰好能做完整圆周运动。
颗粒在圆轨道最高点处应满足
由动能定理
解得
（3）①质量小于等于
的颗粒都能被Ⅲ收集，颗粒质量范围为
②如图所示，设恰好能到达Ⅱ左端的颗粒脱离圆轨道开始做抛体运动的位置距离Ⅱ的高度为h，此时颗粒开始做斜抛运动，对其运动进行正交分解，分解为沿初速度方向和垂直初速度方向。
设该位置对应的半径与水平方向的夹角为
，颗粒速度大小为
，由
此时满足
解得
方法一：颗粒沿初速度方向的运动位移为零，根据运动的对称性可知
其中
颗粒沿垂直初速度方向的运动为
联立解得
方法二：颗粒沿水平方向做匀速直线运动，可得
颗粒沿竖直方向做竖直上抛运动，取竖直向下为正方向，可得
联立解得
（说明：以上两种分解方式均可。）
从开始经过机械臂到开始做抛体运动这个过程，由动能定理得
可得
或（
）
恰好能到达Ⅱ右端的颗粒满足
可得
（说明：能计算出到达Ⅱ右端的颗粒所满足的质量。）
故能被Ⅱ收集的颗粒质量范围为
或（
）
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