（22-23高三上·浙江杭州·期末）如图1所示，空间中放置一个平行板电容器MN，板长和板间距均为
，两极板上电压
，
。极板右侧是一个无穷大匀强磁场区域，方向垂直纸面向里，磁场左边界CD紧贴极板右侧，磁场中放着一块与CD平行的足够长金属板
，
与CD间距为
。有一粒子枪S，可以不断产生初速度近似为零的X和Y粒子，X粒子的质量为m，电荷量为+q，Y粒子的质量为4m，电荷量为+
，两种粒子经过枪内内置的加速电场加速后，能水平射入两极板间，内置加速电场的电压为
，粒子枪可沿极板左边界EF上下移动。现将粒子枪紧靠在M极板的左端E处，发现射出的X粒子恰好击中金属板
上的B点，虚线AB是平行板电容器的中线。不考虑粒子间的相互作用，求：
（1）X粒子在电场中偏转的位移；
（2）磁感应强度B的大小；
（3）金属板
被两种粒子都击中的区域长度d；
（4）将金属板
移到M板右上方并紧贴磁场左边界CD，如图2所示，Q点与M极板右端重合且彼此绝缘，将极板MN上的电压改为
，带电粒子在偏转电场中运动时间远小于所加交流电的周期且N极板可上下平移（F点随极板N一起移动），粒子枪内置的加速电压
不变。当粒子枪S在EF上移动时，发现击中金属板
的X粒子和Y粒子的区域不重叠（粒子打到
板立即被导走）求极板M、N间距L的范围。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【知识点】粒子由电场进入磁场
【详解】（1）
粒子首先被电子枪内置电场加速，有
进入平行板电容器后做类平抛运动，水平方向有
竖直方向有
根据牛顿第二定律有
联立以上各式可得粒子在电场中偏转的位移为
（2）根据几何关系可知，带电粒子射出平行板电容器时位移偏向角的正切值为
因此，根据平抛运动的推论，速度偏向角的正切值等于位移偏向角正切值的两倍可得
由此可知带电粒子在射出平行板电容器时速度的偏向角
，则带电粒子
在进入磁场后打金属板
上的
点，根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的半径为
粒子在磁场中做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，则有
其中
联立以上各式解得
（3）由（2）可知，电子枪在
间移动
粒子才能射出电场，且从A点射出的粒子经电场偏转进入磁场后打在PQ板上的位置恰好与N板齐平，故
粒子打在PQ板上的长度为
，而若是
粒子从M板的E点处进入电场，则在电场中竖直方向的偏移量为
水平方向有
根据牛顿第二定律由
电子枪内置电压对
粒子加速有
联立以上各式可得
即可知电性相同的不同带电粒子通过同一加速电场和同一偏转电场后的偏移位移相等，且速度的偏向角也相等，则可知
粒子在进入磁场时的速度为
由洛伦兹力充当向心力可得
解得
粒子在磁场中运动的轨迹半径为
则由几何关系可知，两粒子打在PQ板上的重合区域的长度为
（4）进入磁场
粒子和
粒子都向上偏转最终都打在PQ板上，两粒子进入磁场的入射角和打在PQ板上的出射角均为
，设
粒子向上偏转的竖直距离为
,
粒子向上偏转的竖直距离为
，则根据几何关系有
，
而要使打在PQ板上的X粒子和Y粒子的区域不重叠，则根据几何关系有
解得
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