（2023高三·全国·专题练习）如图所示，直角坐标系xOy中有一圆心坐标为（-R，0）、半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于坐标平面，y轴右侧存在磁感应强度大小为
B、方向垂直于坐标平面的匀强磁场，薄收集板MN位于y轴上-2R到-4R的区间上。PQ是均匀分布的线状电子源，P、Q点的坐标分别为（-2R，-R）、（0，-R），电子源沿y轴正方向持续发射速率相同的电子。已知电子的质量为m、电荷量为-e，不计重力及电子间的相互作用。
（1）若从PQ中点进入磁场的电子恰好能从y轴左侧打到Q点，求电子的速率v1；
（2）若电子的速率v2=
，求电子第1次在圆形磁场区域中运动的最长时间tm；
（3）若电子的速率v3=
，求MN能收集到的电子数占发射电子数的比例η。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【知识点】带电粒子在弧形边界磁场中运动、带电粒子在直边界磁场中运动
【详解】（1）电子轨迹如图甲所示，由几何关系知
r1+
=R
解得
r1=(
-1）R
根据牛顿第二定律得
ev1B=m
解得
v1=
（2）在圆形磁场中，根据牛顿第二定律得
ev2B=m
解得
r2=2R
如图乙所示，电子运动的轨迹圆对应的弦过圆心时运动的时间最长，此时圆心角为α=60°
运动的最长时间为
tm=
T
周期
T=
故
tm=
（3）在圆形磁场中，根据牛顿第二定律得
ev3B=m
解得
r3=R
在y轴右侧磁场中，根据牛顿第二定律得
ev3·
B=m
解得
r4=2R
电子能打到MN上的临界轨迹如图丙所示
由几何关系可知
OM=2r4sinθ
解得
θ=30°
能打到MN的电子在PQ上的长度为
L=2Rcosθ=
R
故MN能收集到的电子数占发射电子数的比例
η=
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