（23-24高二上·江苏宿迁·期末）如图所示，空间直角坐标系（垂直纸面向外为z轴正方向，未画出），在xOy平面内y轴右侧有I和Ⅱ两个区域，I区域存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场，I区域的宽度为d，II区域同时存在范围足够大的匀强电场和匀强磁场，匀强电场沿y轴负方向，场强大小为
，匀强磁场沿y轴正方向，磁感应强度大小也为B，坐标原点O有一粒子源，在xOy平面内向各个方向发射质量为m、电量为
的相同速率粒子，由于I和Ⅱ区域间存在特殊挡板（厚度不计），只有粒子速度与挡板垂直时才能进入Ⅱ区域，穿过挡板时速度不变，其余粒子被挡板吸收，不计粒子重力和粒子间相互作用，求：
（1）若让粒子能从原点O运动至挡板，则粒子速率
至少多大；
（2）若粒子速率均为
，则挡板上被粒子击中区域的y坐标取值范围；
（3）若粒子速率均为
，求粒子第一次返回挡板时落点坐标。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【知识点】带电粒子在叠加场中做旋进运动、带电粒子在直边界磁场中运动
【详解】（1）根据题意，设粒子在I区域内做圆周运动的半径为
，由牛顿第二定律有
解得
可知，半径越小，速度越小，若让粒子能从原点O运动至挡板，由几何关系可知，当粒子沿
轴正方向进入，恰好运动至挡板时，半径最小，则有
解得
（2）若粒子速率均为
则粒子在I区域内做圆周运动的半径为
根据旋转圆的方法得到粒子在I区域内运动能够击中挡板临界轨迹，如图所示
由几何关系可得，上边界的
轴坐标为
下边界的
轴坐标为
则板上被粒子击中区域的y坐标取值范围
（3）若粒子速率均为
则粒子在I区域内做圆周运动的半径为
由于只有粒子速度与挡板垂直时才能进入Ⅱ区域，可知，粒子沿
轴正方向进入，恰好能能进入Ⅱ区域，由几何关系可得，进入Ⅱ区域的位置坐标为
，粒子进入Ⅱ区域后，粒子在电场力的作用下，沿
轴负方向做初速度为零的匀加速直线运动，由于Ⅱ区域磁场方向与
平行，则粒子受到的洛伦兹力为
由左手定则可知，方向沿
轴正方向，粒子做匀速圆周运动，当粒子第一次返回挡板时有
运动的时间为
粒子在
轴方向上，有
，
解得
则粒子第一次返回挡板时有
综上所述，粒子第一次返回挡板时落点坐标为
。
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