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学习
如图所示,M、N两个钉子固定于相距a的两点,M的正下方有不可伸长的轻质细绳,一端固定在M上,另一端连接位于M正下方放置于水平地面质量为m的小木块B,绳长与M到地面的距离均为10a,质量为2m的小木块A,沿水平方向于B发生弹性碰撞,碰撞时间极短,A与地面间摩擦因数为,重力加速为g,忽略空气阻力和钉子直径,不计绳被钉子阻挡和绳断裂时的机械能损失。
(1)若碰后,B在竖直面内做圆周运动,且能经过圆周运动最高点,求B碰后瞬间速度的最小值;
(2)若改变A碰前瞬间的速度,碰后A运动到P点停止,B在竖直面圆周运动旋转2圈,经过M正下方时细绳子断开,B也来到P点,求B碰后瞬间的速度大小;
(3)若拉力达到12mg细绳会断,上下移动N的位置,保持N在M正上方,B碰后瞬间的速度与(2)问中的相同,使B旋转n圈。经过M正下的时细绳断开,求MN之间距离的范围,及在n的所有取值中,B落在地面时水平位移的最小值和最大值。
【答案】(1)
(2)
(3)(n = 1,2,3,…),
,
【知识点】机械能与曲线运动结合问题、含有动量守恒的多过程问题
【详解】(1)碰后B能在竖直面内做圆周运动,轨迹半径为10a,设碰后B的最小速度大小为v0,最高点速度大小为v,在最高点时由牛顿第二足定律有
B从最低点到最高点由动能定理可得
解得
(2)A和B碰撞过程中动量守恒,设碰前A的速度大小为v1碰后A的速度大小为v2。碰后B的速度大小为v3,则有
2mv1 = 2mv2+mv3
碰后A减速到0,有
碰后B做两周圆周运动,绳子在MN间缠绕2圈,缩短4a,在M点正下方时,离M点6a,离地面4a,此时速度大小为v4,由功能关系得
B随后做平抛运动,有
L = v4t
解得
(3)设MN间距离为h,B转n圈后到达M正下方速度大小为v5,绳缩短2nh,绳断开时,以M为圆心,由牛顿第二定律得
(n = 1,2,3,…)
以N为圆心,由牛顿第二定律得
(n = 1,2,3,…)
从碰后到B转n圈后到达M正下方,由功能关系得
(n = 1,2,3,…)
解得
(n = 1,2,3,…)
绳断后,B做平抛运动,有
(n = 1,2,3,…)
s = v5t
可得
(n = 1,2,3,…)
由于
(n = 1,2,3,…)
则由数学分析可得
当时,
当n = 1时,,