XueXi.Design - 学习

如图所示，M、N两个钉子固定于相距a的两点，M的正下方有不可伸长的轻质细绳，一端固定在M上，另一端连接位于M正下方放置于水平地面质量为m的小木块B，绳长与M到地面的距离均为10a，质量为2m的小木块A，沿水平方向于B发生弹性碰撞，碰撞时间极短，A与地面间摩擦因数为，重力加速为g，忽略空气阻力和钉子直径，不计绳被钉子阻挡和绳断裂时的机械能损失。

(1)若碰后，B在竖直面内做圆周运动，且能经过圆周运动最高点，求B碰后瞬间速度的最小值；

(2)若改变A碰前瞬间的速度，碰后A运动到P点停止，B在竖直面圆周运动旋转2圈，经过M正下方时细绳子断开，B也来到P点，求B碰后瞬间的速度大小；

(3)若拉力达到12mg细绳会断，上下移动N的位置，保持N在M正上方，B碰后瞬间的速度与（2）问中的相同，使B旋转n圈。经过M正下的时细绳断开，求MN之间距离的范围，及在n的所有取值中，B落在地面时水平位移的最小值和最大值。

【答案】(1)

(2)

(3)（n = 1，2，3，…），，

【知识点】机械能与曲线运动结合问题、含有动量守恒的多过程问题

【详解】（1）碰后B能在竖直面内做圆周运动，轨迹半径为10a，设碰后B的最小速度大小为v₀，最高点速度大小为v，在最高点时由牛顿第二足定律有

B从最低点到最高点由动能定理可得

解得

（2）A和B碰撞过程中动量守恒，设碰前A的速度大小为v₁碰后A的速度大小为v_2。碰后B的速度大小为v₃，则有

2mv₁ = 2mv₂＋mv₃

碰后A减速到0，有

碰后B做两周圆周运动，绳子在MN间缠绕2圈，缩短4a，在M点正下方时，离M点6a，离地面4a，此时速度大小为v₄，由功能关系得

B随后做平抛运动，有

L = v₄t

解得

（3）设MN间距离为h，B转n圈后到达M正下方速度大小为v₅，绳缩短2nh，绳断开时，以M为圆心，由牛顿第二定律得

（n = 1，2，3，…）

以N为圆心，由牛顿第二定律得

（n = 1，2，3，…）

从碰后到B转n圈后到达M正下方，由功能关系得

（n = 1，2，3，…）

解得

（n = 1，2，3，…）

绳断后，B做平抛运动，有

（n = 1，2，3，…）

s = v₅t

可得

（n = 1，2，3，…）

由于

（n = 1，2，3，…）

则由数学分析可得

当时，

当n = 1时，，