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学习
利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。
（1）已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，求地球的第一宇宙速度v。
（2）开普勒第三定律指出：所有行星轨道的半长轴a的三次方跟它的公转周期T的二次方的比都相等，即
，比值k是一个对所有行星都相同的常量。
已知月球绕地球做圆周运动的半径为
、周期为
；探月卫星绕月球做圆周运动的半径为
、周期为
。小明认为，若不计周围其他天体的影响，根据开普勒第三定律可以得到
。请通过推导分析小明的观点是否正确。
（3）物体间由于存在万有引力而具有的势能称为引力势能。若取物体距离地心无穷远处引力势能为零，质量为m的物体距离地心为r时的引力势能
，式中M为地球的质量，G为引力常量。
材料：空间站在距离地心约6770km的轨道绕地球飞行。如果没有外力干扰，它会稳定地绕地球运动。然而空间站的轨道属于近地轨道，那里存在稀薄的大气，受微弱大气阻力的影响，空间站的高度会缓慢下降。由于阻力很小，空间站下降的高度远小于其轨道半径，例如我国空间站受大气阻力的影响1年下降的高度约为30km。
已知万有引力常量为G，地球的质量为M，空间站的质量为m，空间站最初运行的轨道半径为
，由于阻力的影响，经过一段时间t后的轨道半径减小为
。求：
a.时间t内空间站损失的机械能
；
b.空间站受到的微弱阻力f的大小。
【答案】（1）
；（2）见解析；（3）a.
，b.
【知识点】引力势能及其应用、第一宇宙速度的意义及推导、天体运动中机械能的变化
【详解】（1）近地卫星绕地球做匀速圆周运动，设离地面的高度为h，卫星质量为m，由万有引力提供向心力
解得
当
h可以忽略不计，有
当质量为
的物体在地球表面时，重力等于万有引力
得
联立解得地球的第一宇宙速度为
（2）已知月球绕地球做圆周运动的半径为
、周期为
，由开普勒第三定律知
k与地球有关，当探月卫星绕月球做圆周运动的半径为
、周期为
，由开普勒第三定律知
与月球有关，所以有
得小明的观点不正确。
（3）a．根据题意，“中国空间站”在最初轨道上做圆周运动时，根据牛顿第二定律，得
解得
动能为
以无限远为零势能点，“天宫”在最初轨道上做圆周运动的引力势能为
所以，“中国空间站”在最初轨道上做圆周运动的机械能为
同理，“中国空间站”轨道高度下降后的机械能为
损失的机械能为
b．由于
和
相差不大，可认为空间站的线速度几乎不变，运动t时间后，阻力做功使机械能减少，即
联立解得
