
如图所示,质量为M的凹槽放在光滑水平地面上,凹槽内有光滑圆弧轨道AB、水平粗糙轨道BC和光滑半圆轨道CDO(D为CDO轨道的中点),轨道都处于竖直平面内且各部分之间平滑连接,OA处于同一水平线上。现将一个质量为m(
)的小物块P(可视为质点)从A点的正上方距A高H处自由下落,已知轨道AB段的半径为2R,BC段轨道长为L(L = 2R),轨道CDO的半径为R,小物块与BC段轨道之间的动摩擦因数为μ = 0.4,重力加速度为g。
(1)若固定凹槽静止不动,且H = 1.8R,求小物块第一次经过C点后瞬间轨道对它的作用力与其重力的比值;
(2)若不固定凹槽,且H = 1.8R,求小物块到达O点的过程中,凹槽离开初始位置的最大距离;
(3)若不固定凹槽,且R = 1 m,m = 1 kg,g = 10 m/s2,小物块第一次经过DO间某位置时刚好脱离轨道,该位置与半圆轨道圆心的连线与竖直方向成37°角,求H的大小。(sin37° = 0.6)
【答案】(1)7
(2)
(3)0.936 m
【知识点】应用动能定理解多段过程问题、含有动量守恒的多过程问题
【详解】(1)设小物块第一次经过C点瞬间的速度为vC,对小物块从P到C点的过程有
在C点,对小物块
所求比值为
(2)因为小物块和凹槽组成的系统水平方向动量守恒,所以小球到达D点时两者在水平方向的速度均为零,此时凹槽离开初始位置的距离最大。设小物块和凹槽沿水平方向运动的距离分别为x1和x2,则
所求凹槽离开初始位置的最大距离为
(3)小物块第一次经过DO间某位置时刚好脱离轨道,设在该位置时小物块的水平方向速度为vx,竖直方向速度为vy,凹槽的速度为vM,对系统有
由速度关系,有
在该位置有
由以上各式解得
H = 0.936 m(或)
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