将一质量为
的小球用长为
且不可伸长的轻绳系在钉子
上，小球与地面之间恰好无挤压，如图甲所示。重力加速度为
，不计空气阻力，忽略钉子
和小球的直径。
(1)若给小球某一水平向右的初速度
，且绳始终伸直，求
的取值范围；
(2)若轻绳中弹力达到30mg会断。在钉子
正上方某处固定另一钉子
（忽略直径），如图乙所示，并给小球一大小
、方向水平向右的初速度，令小球绕钉子转，第
次经过钉子
正上方时轻绳断开（
未知），轻绳与钉碰撞无机械能损失，求：
①
之间距离
的取值范围；
②小球落在地面时水平位移的最大值。
【答案】(1)
或
(2)①见解析，②
【知识点】机械能与曲线运动结合问题、绳球类模型及其临界条件、平抛运动位移的计算
【详解】（1）①小球恰好到与圆心等高处，由动能定理有
解得
②小球恰好过最高点，在最高点
由动能定理有
联立解得
故
的取值范围为
或
（2）①设小球第
次到
正上方时绳断，此时以
为圆心有
（
，
，
）
小球第
次（初始记为第1次）到
正下方时
从开始到小球第
次到
正下方
从开始到小球第
次到
正上方
小球第
次到
正上方时绳断条件
，
联立解得
由于
有解，故
即
当
，又考虑到绳长为
，有
当
，
，
，有
②绳断后，小球做平抛运动
联立解得
变形为
对{}内的函数分析，其对称轴
将①结果变形为
由于
故当
可得
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