匀速圆周运动和平抛是两种最典型的曲线运动。
(1)当物体做匀速圆周运动时，可以通过速度变化的情况来确定加速度的大小和方向。请用运动学的方法证明：一个物体做匀速圆周运动，其线速度大小为v，圆的半径为R（如图所示）时，则其加速度大小为
。（已知角度θ很小时, 有
）
(2)研究一般曲线运动（如平抛）时，可以把这条曲线分割为很多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。质点所受合力
可以沿运动方向和垂直运动方向分解，沿切向的部分
使质点速度大小改变，垂直切向部分提供质点运动方向改变所需要的向心力
满足：
，其中v为质点在该点的瞬时速度，r为该点等效圆周运动半径（即曲率半径）。一个可以看作质点的物块以初速度
离开桌面做平抛运动，桌面离地高度为
，当地重力加速度为
。
a. 物块运动的轨迹为抛物线，求该轨迹在抛出点P和落地点Q的曲率半径。
b. 现制作一个与小物块平抛轨迹完全相同的光滑轨道，并将该轨道固定在与PQ曲线重合的位置，让物块从顶端P沿该轨道无初速下滑，试通过计算，分析说明小物块在落地前是否会脱离轨道。
【答案】(1)见解析
(2)a. 
，
；b. 见解析
【知识点】通过牛顿第二定律求解向心力、向心加速度的概念、公式与推导、平抛运动速度的计算
【详解】（1）若物体由图中的A点运动到B点，AB圆弧所对圆心角为
，如图所示
可知三角形
与三角形
相似，则三角形
为等腰三角形，根据几何关系得
A点到B点的时间为
解得A点到B点的平均加速度为
当圆心角θ趋近于零（
）时，则有
可得
（2）a. 物块在抛出点P时，重力刚好与速度方向垂直，则有
解得该轨迹在抛出点P的曲率半径为
物块从抛出点P和落地点Q过程做平抛运动，则有
，
解得
则物块在落地点Q的速度大小为
物块在落地点Q的速度方向与水平方向的夹角满足
可得
则在落地点Q有
解得该轨迹在落地点Q的曲率半径为
b. 物块做平抛运动过程经过某点的速度大小为
，与水平方向的夹角为
，该点的曲率半径为
，则有
现制作一个与小物块平抛轨迹完全相同的光滑轨道，并将该轨道固定在与PQ曲线重合的位置，让物块从顶端P沿该轨道无初速下滑，物块下滑到与平抛运动同一点时，重力做功相同，但平抛运动具有一定的初速度，所以物块无初速下滑时经过同一点的速度
小于物块做平抛运动经过同一点的速度
，则有
可知轨道对物块有支持力作用，所以小物块在落地前不会脱离轨道。
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