如图甲所示为一小孩在蹦床上做预备活动的娱乐场景，其简化模型如图乙所示：轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为
的小球，从弹簧上端原长
处静止释放，始终沿着
轴竖直运动。以小球平衡位置
为坐标原点，沿竖直向下方向建立坐标轴
，已知弹簧的劲度系数为
，重力加速度为
，不计空气阻力。
(1)现将小球由平衡位置
向下发生的位移为
，小球沿着竖直
轴运动。
①请写出小球所受的合外力
与
的关系式，并据此说明小球的运动是否为简谐运动；
②以平衡位置
为系统总势能的零势能参考点，可以将重力势能和弹性势能这两个势能等效成一个总势能。请结合小球的受力特点和求解变力功的基本思想方法，推导出“等效总势能”的表达式；
(2)已知小球运动的周期为
，若只更换不同质量的小球，在
处静止释放小球运动的区间会发生变化。对于任意一个质量确定的小球，在该弹簧形变限度内实验，从位移最大处到平衡位置运动过程中，小球所受的合力对位移的平均值设为
，合力对时间的平均值设为
。试证明
与
的比值与振幅
无关。
【答案】(1)①
；②
(2)见解析
【知识点】简谐运动的回复力、弹簧类问题机械能转化的问题
【详解】（1）①小球所受合外力
又因为
可得
所以小球的运动是简谐运动。
②以平衡位置
为系统总势能的零势能参考点则
小球从平衡位置
向下位移为
，重力势能为
，弹性势能增加量为
，
又因为
则等效总势能为
（2）从位移最大处到平衡位置运动过程中，合力对位移的平均值
合力对时间的平均值
因为
，
则
与振幅A无关。
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