如图所示，内壁光滑的细圆管道固定在光滑水平地面上，管道由
两部分组成，
段是关于
点对称的抛物线形态，
两点处的切线水平。质量为
的小球乙放置在光滑水平地面上，现让质量也为
的小球甲从
点由静止开始沿着管壁下滑，小球甲、乙发生碰撞生成的热量为
，碰撞刚结束时，甲、乙的速度之比为
，重力加速度取
，求：
(1)小球甲到达
点时的速度以及
两点的高度差；
(2)若在
点给小球甲一个水平向右的初速度
，则甲在细圆管内从
运动到
，且与内壁间恰无作用力，求甲从
到
的运动时间以及
点切线与水平方向夹角的正切值；
(3)接第（2）问
点的倾角条件，甲再从
点由静止开始沿着管壁下滑，求运动到
点时重力的瞬时功率。
【答案】(1)
，
(2)
，1
(3)
【知识点】速度偏转角与位移偏转角、平均功率与瞬时功率的计算、利用动量守恒及能量守恒解决（类）碰撞问题
【详解】（1）设甲从
点由静止开始沿着管壁下滑，运动到
点时速度为
，碰撞刚结束时甲、乙的速度分别为
、
，由动量守恒可得
由能量守恒可得
联立解得
设
两点的高度差为
，甲从
点由静止开始沿着管壁下滑运动到
点，由机械能守恒定律可得
解得
（2）当在
点给甲一个水平向右的初速度
，则甲从
到
做平抛运动，则有
解得
设轨道在
点的切线与水平方向的夹角为
，由平抛运动的规律可得
可得
（3）甲从
点由静止开始沿着管壁下滑，运动到
点，由机械能守恒定律可得
甲在b点重力的瞬时功率为
联立解得
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