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第七章  万有引力与宇宙航行

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易混易错练

易错点1　混淆“r”的含义

1.宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，在彼此的万有引力作用下，以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，称为双星系统。已知双星的质量分别为m₁和m₂，其中心相距L，引力常量为G，求它们运转的角速度ω。

某个同学的解答如下：设质量分别为m₁、m₂的两星体的运动轨道半径为r₁、r₂，则得G=m₁r₁ω²①，G=m₂r₂ω²②，r₁+r₂=L③，联立①②③式解得ω=。

(1)该同学的解答是正确的还是错误的？请你作出判断，并对你的判断作出解释。

(2)对题中给出的求解问题，写出你自己的解答过程和结果。

易错点2　混淆万有引力与重力

2.(2024湖南益阳月考)假设宇宙中某一行星自转较快，且可近似看作质量分布均匀的球体，半径为R。航天员在行星上用弹簧测力计称量一个相对于自己静止的小物体的重力，第一次在极点处，弹簧测力计读数为F₁=F₀；第二次在赤道处，弹簧测力计读数为F₂=。假设第三次在赤道平面内深度为的隧道底部，示数为F₃；第四次在距行星表面高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中，示数为F₄。已知均匀球壳对壳内物体的引力为零，则以下判断正确的是 (　　)

A.F₃=，F₄=　　　　　　　　B.F₃=，F₄=0

C.F₃=，F₄=0　　　　　　　　D.F₃=4F₀，F₄=

易错点3　混淆绕地球运动的卫星与随地球自转的物体的受力

3.(经典题)(2024江苏扬州第一中学期中)地球同步卫星到地心的距离为r，运行速度为v₁，加速度为a₁，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a₂，第一宇宙速度为v₂，地球的半径为R，则 (　　)

A.=  　  B.=　    C.=　    D.=

易错点4　混淆稳定运行和变轨运动

4.(2024河北沧州四校联考)神舟十六号载人飞船与天和核心舱对接过程的示意图如图所示，神舟十六号飞船处于半径为r₁的圆轨道Ⅰ上，运行周期为T₁，线速度大小为v₁，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与天和核心舱对接，在轨道Ⅱ上A点的线速度大小为v₂，运行周期为T₂；天和核心舱处于半径为r₃的圆轨道Ⅲ上，运行周期为T₃，线速度大小为v₃。则 (　　)

A.v₂>v₁>v₃

B.T₁>T₂>T₃

C.飞船在轨道Ⅱ上B点处的加速度大于在轨道Ⅲ上B点处的加速度

D.飞船沿轨道Ⅱ从A到B过程，速率不断增加

思想方法练

一、填补法

方法概述

填补法就是将研究物体“空缺”的部分补回，使之成为完整的物体，再利用所学知识进行求解的方法。第2节能力提升练的第5题、第6题就应用了此方法。

1.(经典题)(2024河南濮阳油田第一中学测试)有一质量为m、半径为R、质量分布均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m'的质点。现从球心与质点的连线上挖去两个半径均为R的小球体(两球表面相切)，如图所示，已知引力常量为G，则剩余部分对质点的万有引力大小为 (　　)

A.　　　　　　　　B.

C.　　　　　　　　D.

二、对称法

方法概述

对称法是指利用研究对象在结构上的对称性、物理过程在时间和空间上的对称性、物理量在分布上的对称性及作用效果的对称性等结合物理规律分析解决物理问题的方法。利用对称法可以避免复杂的数学演算和推导，大大简化解题步骤。

2.(2024江苏扬州中学月考)如图所示，三个质量均为M的球分别位于圆环、半圆环和完整圆环的圆心，圆环、半圆环分别是由与丙图中相同的完整圆环截去和一半所得，环的粗细忽略不计，若甲图中环对球的万有引力大小为F，则乙图、丙图中环对球的万有引力大小分别为 (　　)

A.F，2F　　　　　　　　B.F，0

C.F，2F　　　　　　　　  D.F，F

三、数理结合法

方法概述

数理结合法指运用数学知识(函数图像、函数表达式)，对所研究的物理问题进行定量分析的方法。第4节能力提升练的第8题、三年模拟练的第3题与第5题就应用了此方法。

3.(2023江苏镇江中学期中)航天员驾驶宇宙飞船绕质量分布均匀的一星球做匀速圆周运动，测得飞船线速度大小的二次方与轨道半径的倒数的关系图像如图中实线所示，该图线(直线)的斜率为k，图中r₀(该星球的半径)为已知量，引力常量为G。求：

(1)该星球的密度；

(2)该星球的第一宇宙速度。

答案与分层梯度式解析

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易混易错练

1.答案　见解析

解析　(1)该同学的解答是错误的。解释如下：计算天体做匀速圆周运动的向心力时，万有引力提供向心力，万有引力表达式中的r和向心力表达式中的r始终是同一个量导致错误。

(2)双星间的万有引力提供它们做圆周运动所需的向心力，有G=m₁r₁ω² ①

G=m₂r₂ω² ②

r₁+r₂=L ③

联立①②③式解得ω=

错解分析　解答本题易犯的错误是混淆万有引力表达式和向心力表达式中两个r的真实含义。实际上，万有引力表达式F=G中的r表示两个物体质心之间的距离，向心力表达式F=m=mω²r中的r表示物体做匀速圆周运动的轨道半径，可见这两个公式中的r的含义是不同的。在天体运动问题中，常见的距离(通常用r表示)主要有以下三种：

(1)万有引力公式F_万=中的r，指两个质点间的距离；对匀质球体来说，指球心间的距离。

(2)向心力公式F_向=中的r，对圆周运动而言，指轨道的半径；对不是标准圆周的运动，则为该处的曲率半径。

(3)星球体积公式V=中的r指星球半径。

要注意的是，在常见习题中，利用万有引力提供向心力解题时，与中r的数值相等，但不能由此就认为两个r的含义相同，应具体问题具体分析。

2.B　设该行星的质量为M，则质量为m的物体在极点处受到的万有引力为F₁==F₀。由于在赤道处，弹簧测力计的读数为F₂=，则F_n2=F₁-F₂=F₀=mω²R。行星内部半径为的球体的质量为M'=·M=M，物体在赤道平面内深度为的隧道底部受到的万有引力F'₃==F₁=F₀，物体需要的向心力F_n3=mω²·=mω²R=F₀，所以在赤道平面内深度为的隧道底部，弹簧测力计的示数为F₃=F'₃-F_n3=F₀-F₀=F₀。第四次在距行星表面高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中时，物体受到的万有引力全部用来提供向心力，所以弹簧测力计的示数为0。综上可知B正确。

错解分析　本题出错的原因是不清楚随行星自转的物体所受万有引力与重力的关系。极点处，物体在行星的自转轴上，此处重力等于万有引力，弹簧测力计的读数为F₁=F₀=F_万；赤道处，万有引力与重力的关系式为G+F_向=F_万，弹簧测力计的读数等于物体在行星表面所受的重力大小，本题中在赤道处万有引力的一半用来提供向心力。同理，可求解在赤道平面内深度为的隧道底部弹簧测力计的示数F₃。

3.A　本题中涉及三个物体：地球同步卫星，轨道半径为r，运行速度为v₁，加速度为a₁；在地球赤道上的物体，运动半径为R，随地球自转的向心加速度为a₂；近地卫星，轨道半径为R，运行速度为v₂。对于地球同步卫星，由地球对其的万有引力提供向心力，有G=m，解得v₁=，同理可得v₂=，故=；地球同步卫星和地球赤道上的物体角速度相等，根据a=ω²r，可知=，选A。

错解分析　本题出错的原因是没有具体分析赤道上物体的受力情况，而盲目地认为和地球卫星受力情况相同，只受万有引力。卫星在“天上”，万有引力全部用来提供向心力；而赤道上的物体在“地上”，万有引力的一个分力(或者说是万有引力与地面支持力的合力)提供向心力。

4.A　飞船从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ需要加速，所以v₁<v₂，在圆轨道稳定运行时，根据G=m，解得v=，所以v₁>v₃，综上得v₂>v₁>v₃，A正确；根据开普勒第三定律可知轨道半径(半长轴)越大，周期越大，故T₃>T₂>T₁，B错误；根据=ma，飞船在同一点处的加速度应该相等，C错误；根据开普勒第二定律知，飞船沿轨道Ⅱ从A运动到对接点B过程中，速度不断减小，D错误。

错解分析　飞船绕天体稳定运行时，由万有引力提供向心力，有=m，解得v=，可知轨道半径r越大，飞船的速度越小；但是，飞船的变轨是不稳定运行阶段，万有引力与所需向心力不相等，不能用公式v=分析速度变化和轨道变化的关系。要使飞船做离心运动，即轨道半径r变大，就必须使飞船速度v突然变大；要使飞船做近心运动，即轨道半径r变小，就必须使飞船的速度v突然变小。

思想方法练

1.D　设挖去的一个小球体的质量为m₁，球体的密度为ρ，有m=ρ·πR³，m₁=ρ·π，可得m₁=。挖去小球体前，完整球体对质点的万有引力大小为F₁=G=，挖去的左边小球体对质点的万有引力大小为F₂==，挖去的右边小球体对质点的万有引力大小为F₃==，则剩余部分对质点的万有引力大小为F=F₁-F₂-F₃=，选D。

方法点津　先把挖去的部分“补”上，得到半径为R的完整球体，根据万有引力公式，分别计算补回的两个半径为的球体和半径为R的完整球体对球外质点的万有引力，再利用力的合成与分解规律即可求得结果。

2.B　将圆环看成是三个圆环的组合，关于圆心对称的两个圆环对球的万有引力的合力为零，由题知圆环对球的万有引力大小为F，所以圆环对球的万有引力大小为F；将半圆环看成是两个圆环的组合，根据平行四边形定则，半圆环对球的万有引力大小为F，方向向上；将完整圆环看成是4个圆环的组合，关于圆心对称的两个圆环对球的万有引力的合力为零，因此完整圆环对球的万有引力为0。故选B。

方法点津　分析清圆环的结构特点是本题的突破口。利用对称思想，推断出圆环对球的万有引力大小为F，再将半圆环和完整圆环看成由几个圆环组成，利用矢量合成及对称法轻松解题。

3.答案　(1)　(2)

解析　(1)宇宙飞船绕星球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，有G=m

解得v²=

结合图像可得GM=k

星球的密度为ρ=

解得ρ=

(2)星球的第一宇宙速度为围绕星球表面运行的飞船的线速度，有G=m

解得v₀=

方法点津　根据图像和物理过程，写出v²与的函数关系式，得出图线斜率的物理意义，再推导出星球的密度及第一宇宙速度。