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专题6 动能定理及其应用

思维导图

考点梳理

考法1 动能、动能定理的理解 

考法2 动能定理解决多过程问题 

考法3 动能定理与图像的综合运用 

题型归纳

01 动能定理的简单应用 

02 应用动能定理求变力做功问题 

03 应用动能定理解决多过程问题 

04 应用动能定理求机车启动位移问题 

05 利用动能定理解决物体在传送带上的运动问题 

06 利用动能定理求解其他问题 

1. 动能

（1）定义：物体由于运动而具有的能量叫做动能；

（2）表达式：

（3）单位：焦耳，简称焦，符号是J

（4）动能具有的特点

①动能是标量，与速度的方向无关，不能合成或分解，且动能只有正值；

②动能具有瞬时性和相对性，这是由速度的瞬时性和相对性决定的，即动能与物体在任意时刻的速度是对应的，是一个状态量；对于同一个物体，在速度不变时，相对于不同的参考系其动能是不-样的。

2. 动能定理

（1）内容：在一个过程中合外力对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化量．

（2）表达式：W＝2(1)mv₂²－2(1)mv₁²＝E_k2－E_k1

（3）适用条件：

①既适用于直线运动，也适用于曲线运动；

②既适用于恒力做功，也适用于变力做功；

③力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用．

（4）应用技巧：若整个过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可以分段考虑，也可以整个过程考虑．

1．解题的基本思路

（1）选取研究对象，明确它的运动过程；

（2）分析受力情况和各力的做功情况；

（3）明确研究对象在过程的初末状态的动能E_k1和E_k2；

（4）列动能定理的方程W_合＝E_k2－E_k1及其他必要的解题方程，进行求解．

1. 解决物理图像问题的基本步骤

观察题目给出的图像，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量

根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式

将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、图线的交点、图线下的面积所对应的物理意义，分析解答问题，或者利用函数图线上的特定值代入函数关系式求物理量

2. 四类图像围城面积的含义

01 动能定理的简单应用

1．（22-23高一下·陕西西安·期末）小明驾驶两轮平衡车在水平路面上以恒定加速度启动，图像如图所示，已知人和平衡车的总质量为，平衡车动力系统的额定功率为，平衡车受到的阻力恒为，不计人对平衡车做功，则（    ）

A．时间内，阻力对平衡车做的功为

B．平衡车能达到的最大行驶速度

C．平衡车匀加速阶段的牵引力为

D．平衡车做匀加速直线运动过程中能达到的最大速度

2．（21-22高一下·云南保山·期末）如图所示，圆心为O、半径R=1.6m的光滑圆轨道与水平地面相切于B点，且固定于竖直平面内。在水平地面上距B点x=5m处的A点放一质量m=3kg的小物块，小物块与水平地面间的动摩擦因数μ=0.5，小物块在与水平地面夹角θ=37°斜向上的拉力F的作用下由静止向B点运动，运动到B点时撤去F，小物块沿圆轨道上滑，且恰能到达圆轨道最高点C。（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：

（1）小物块在C点的速度v_C的大小；

（2）小物块从C点飞出后在水平面的落点到B点的水平距离s；

（3）小物块在B点时对轨道压力的大小；

（4）拉力F的大小。

3．（22-23高一下·辽宁阜新·期末）如图所示，光滑圆弧半径R为0.8m，有一质量m为1kg的物体自A点从静止开始下滑到B点，然后沿粗糙水平面前进4m，到达C点停止，求：

（1）物体到达B点的速度？

（2）物体圆周运动到达圆弧末端B点时受到轨道对其支持力大小？

（3）物体沿水平运动中的摩擦力？

（4）物体与水平面间的动摩擦因数.

4．（22-23高一下·天津和平·期末）如图所示，粗糙的圆弧轨道ABC固定在竖直平面内，一个质量为的小球从P点水平抛出，恰好从圆弧轨道的A点沿切线方向进入轨道。B为轨道的最低点，C为最高点，圆弧AB对应的圆心角，轨道半径。g取10m/s²。不计空气阻力，若小球进入轨道后恰好通过C点，且在圆弧轨道上摩擦力对小球做的功，求：

（1）小球到达C点的速度的大小：

（2）小球冲入轨道A点的速度的大小：

（3）P和A两点的高度差h

5．（22-23高一下·山东青岛·期末）如图是某青少年拓展基地的一台弹珠枪的示意图，ABCD是一个倾角θ=30°的光滑长方形平台，宽AB为1.6m，长BC为4m，斜面上端固定一个半径R=0.8m的光滑四分之一圆弧轨道，分别与AB、BC相切与E、F点，弹珠枪位于A点，沿着AB边发射质量为0.2kg的弹珠，弹珠从E点进入圆弧轨道后恰好可以经过F点。已知重力加速度，g=10m/s^2.求：

（1）若弹珠恰好经过F点，在F点速度大小；

（2）若弹珠恰好经过F点，在A点的发射速度大小；

（3）若弹珠恰好经过D点，弹珠在F点受到圆轨道压力的大小。

6．（22-23高一下·福建莆田·期末）习近平强调，少年儿童是祖国的未来，是中华民族的希望。新时代中国儿童应该是有志向、有梦想，爱学习、爱劳动，懂感恩、懂友善，敢创新、敢奋斗，德智体美劳全面发展的好儿童。如图所示为儿童娱乐的滑滑梯示意图，其中AB为斜面滑槽，与水平方向夹角为37°，BC为水平滑槽，与半径为0.2 m的圆弧CD相切，ED为地面。已知通常儿童在滑槽上滑动时的动摩擦因数大约为0.5，A点离地面的竖直高度AE为2 m，不计空气阻力，求：

（1）儿童由A处静止起滑到B处时的速度大小；

（2）为了儿童在娱乐时能沿CD圆弧下滑一段，而不会从C处平抛飞出，水平滑槽BC至少应有多长？（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

02 应用动能定理求变力做功问题

7．（22-23高一下·辽宁·期末）如图甲所示，某物体在光滑水平面上受外力作用从坐标原点O由静止开始沿x轴运动，其加速度a随位移x变化的规律如图乙所示，图中加速度的最大值为a_m，x₁和x₂已知，则下列说法正确的是（    ）

A．物体在0～x₁内做匀加速直线运动

B．在物体由x=0运动到x=x₂的过程中合外力对物体所做的功为

C．在物体由x=0运动到x=x₁的过程中合外力对物体所做的功为

D．物体在x₁处速度最大

8．（22-23高一下·山东威海·期末）如图所示，质量均为m的两个物体A、B通过一轻质弹簧连接，静止在水平地面上。从某时刻开始对A施加一竖直向上的外力，使A做匀加速直线运动，经时间t，B恰好离开地面。已知弹簧的劲度系数为k，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小为g。这个过程中外力做的功为（　　）

A． B．

C． D．

9．（22-23高一下·宁夏银川·期末）如图所示，质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置。用水平拉力F缓慢地将小球拉到细线与竖直方向成角的位置。在此过程中，拉力F做的功是（　　）

A． B．

C． D．

10．（22-23高一下·浙江丽水·期末）如图所示，小明同学在公园荡秋千，已知小明质量为M，秋千的两根绳长均为L，某次荡秋千时绳子与竖直方向最大夹角为37°，当小明荡到秋千支架的正下方时速度为v₁。回到学校，小明把一个质量为m金属小球用细绳悬挂，成为一个摆，摆长为l，最大偏角也为37°，当小球运动到最低点时速度大小为v₂。不计绳的质量和所有阻力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8。当运动到最低点时，下列说法正确的是（    ）

A．小明的速度大小v₁等于

B．小球的速度大小v₂为

C．秋千对小明的作用力大小为

D．若绳长变为2l，小球的向心加速度仍为

11．（多选）（22-23高一下·黑龙江佳木斯·期末）如图所示，高为的表面粗糙程度相同的弧形斜面体固定于水平地面上，末端与地面相切。质量为的小物块以速率从点滑上斜面，到最高点后沿斜面下滑回到点的速率为。不计空气阻力，重力加速度为，取地面处的重力势能为零，下列说法正确的是（　　）

A．从到再返回到的过程中摩擦力做功为

B．上滑过程中克服摩擦力做功大于下滑过程中克服摩擦力做功

C．上滑过程中动能等于重力势能的位置距离地面的高度大于

D．下滑过程中动能等于重力势能的位置距离地面的高度小于

12．（22-23高一下·福建福州·期末）如图所示为一种打弹珠的游戏装置，高度的竖直细管AB连接半径的四分之一圆弧管形轨道BC。细管底部有一竖直轻弹簧，其长度远小于竖直细管的长度，管自身粗细对半径的影响可忽略不计。现拉动拉杆压缩弹簧，再释放拉杆，将一质量的小球弹出，小球弹出后从管口至D点，BD在同一水平线上，落点距管口C的水平距离。小球可视为质点，不计空气阻力和一切摩擦，重力加速度g取。求：

（1）小球从管口C飞出时的速度大小；

（2）拉杆做的功；

（3）若固定不变，圆弧轨道半径可调，拉杆做功的最小值。

03 应用动能定理解决多过程问题

13．（22-23高一下·全国·期末）如图甲所示，一物块以一定的初速度冲上倾角为30°的固定斜面。物块在斜面上运动的过程中，其动能E_k与运动路程s的关系如图乙所示。已知物块所受的摩擦力大小恒定，g取10m/s²。下列说法正确的是（　　）

A．物块质量为0.7kg

B．物块所受摩擦力大小为0.7N

C．0~20m过程中，物块克服摩擦力做功为40J

D．0~10m过程中与10m~20m过程中物块所受合力之比为3：4

14．（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）如图所示，ABCD是一条长轨道，其中AB段是倾角为θ的斜面，CD段是水平的，BC段是与AB和CD都相切的一小段圆弧，其长度可以略去不计。一质量为m的滑块（看作质点）在A点由静止状态释放，沿轨道滑下，最后停在D点，A点和D点的位置如图所示。现用一方向始终与轨道平行的力推滑块，使它缓慢地由D点推回到A点。设滑块与轨道间的动摩擦因数为μ，则推力对滑块做的功为（　　）

A．mgh B．2mgh C．μmg（s+） D．μmgs+μmghcotθ

15．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）如图所示，长的水平传送带以的速度顺时针匀速转动，为传送带的左、右端点，段水平地面长，并在点与倾角为的光滑长斜面平滑连接，将一滑块从点轻放上传送带。已知滑块与传送带、水平地面间的动摩擦因数分别为，重力加速度取，求：

（1）滑块放上传送带时的加速度大小；

（2）滑块第一次到达点时的速度大小；

（3）滑块从放在点上到最终静止下来所用的时间。

16．（22-23高一下·福建福州·期末）游乐场的过山车可以底朝上在竖直圆轨道上运行，游客却不会掉下来，我们把这种情形抽象为如图所示的模型。水平轨道AB的右端B与半径为的圆轨道相接，圆轨道向右出口与一水平导轨BD连接。一个可以视为质点的玩具过山车且质量，从水平轨道左端A以额定功率由静止启动，沿着水平轨道运动到B点关闭电动机，恰好能通过竖直圆轨道的最高点C，最后滑上水平导轨BD。所有摩擦不计，轨道连接处无能量损失，重力加速度g取。求：

（1）玩具过山车通过C点时的速度大小；

（2）玩具过山车运动到竖直圆轨道最低点B时对轨道压力的大小；

（3）玩具过山车从A运动到B的时间。

17．（22-23高一下·广西贺州·期末）如图所示，竖直平面内有一固定光滑弧形轨道AB与粗糙水平地面平滑连接，B为弧形轨道的最低点。已知弧形轨道最高点A距离水平地面的高度h=0.45m。现有一滑块（可视为质点），从A点由静止开始沿弧形轨道下滑，物块与水平地面间的动摩擦因素最后在水平地面上的C点停止运动。不计空气阻力，重力加速度。求：

（1）滑块滑至B点时速度v的大小；

（2）滑块在水平地面上滑行距离的大小x。

18．（22-23高一下·陕西渭南·期末）如图所示，有一个质量的小物块（可视为质点），从光滑平台上的点以的初速度水平拖出，到达点时，恰好沿切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，最后小物块滑上紧靠轨道末端点的长木板。已知足够长的长木板质量，放在粗糙的水平地面上，长木板下表面与地面间的动摩擦因数，长木板上表面与小物块间的动摩擦因数，且与圆弧轨道末端切线相平，圆弧轨道的半径，半径与竖直方向的夹角（不计空气阻力， ）。求：

（1）的高度；

（2）小物块运动到点时的速度大小；

（3）小物块与长木板因摩擦而产生的热量。

04 应用动能定理求机车启动位移问题

19．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期末）一辆汽车在平直的公路上由静止开始启动，在启动过程中，汽车牵引力的功率及其瞬时速度随时间的变化情况分别如图甲、乙所示，已知汽车所受阻力恒为重力的倍，重力加速度g取。下列说法正确的是（　　）

A．该汽车的质量为

B．

C．在前5s内，汽车克服阻力做功为

D．在内，汽车的位移大小约为

20．（多选）（22-23高一下·湖南益阳·期末）质量为的汽车在平直公路上行驶，其发动机的额定功率为75kW，若汽车以的恒定加速度从静止开始启动，达到额定功率后以额定功率继续加速至最大速度，行驶过程中受到的阻力恒为重力的0.1倍，，则（　　）

A．汽车能达到最大速度为15m/s

B．当速度为10m/s时的加速度为

C．汽车维持做匀加速运动的时间为2.5s

D．汽车从静止开始到速度刚达最大值时通过的位移为56.25m

21．（多选）（22-23高一下·四川绵阳·期末）如图所示是我国某新型电动公交车，在一次测试中，沿平直公路以恒定功率P从静止启动做直线运动，经过时间t达到最大速度。已知该公交车质量为m，所受阻力恒定。下列说法正确的是（　　）

A．在与时间内，公交车动能改变量相等

B．从静止到速度最大的过程中，公交车位移等于

C．当车速为时，公交车的加速度大小为

D．在启动过程中，公交车牵引力做功为

22．（23-24高一上·贵州安顺·期末）如图，一自行车骑行者和车的总质量为从距离水平路面高为h=1.25m 的斜坡路上 A 点，由静止开始不蹬踏板让车自由运动，到达水平路面上的B 点时速度大小为 v = 4m/s，之后人立即以恒定的功率蹬车，人的输出功率P=180W， 从 B 运动到 C 所用时间 t =25s， 到达 C 点时速度恰好达到最大。车在水平路面上行驶时受到阻力恒为总重力的 0.05 倍，运动过程可将人和车视为质点，重力加速度，求∶

（1） A到B过程中车克服阻力做的功；

（2）车的最大速度v_m；

（3）B、C之间的距离s。

23．（22-23高一下·上海浦东新·期末）高铁在高速行驶过程中会受到较大的阻力，假设其阻力大小与行驶速率成正比，即，其中k是与列车参数相关的比例系数。根据该条件完成下列计算。（注意：在列式计算、逻辑推理以及回答问题过程中，要求给出必要的图示、文字说明、公式、演算等。）

（1）某型号的列车在以100m/s匀速行驶的情况下耗电功率约为，那么当该列车以50m/s匀速行驶时，耗电功率约为多少？

（2）另一质量为500t列车以额定功率从60m/s加速至100m/s后开始匀速行驶，此加速过程耗时10min，那么：

①求该列车对应的比例系数k；

②求该过程中列车克服阻力做的功W；

③该列车现在关闭动力，在轨道上仅受阻力从100m/s减速至80m/s，求此过程列车行驶的距离x。

24．（22-23高一下·山东烟台·期末）如图所示，工人师傅用电动机通过细绳将货物从倾角为θ的斜面底端拉到高处的平台上。现有质量为m的货物在绳子拉力作用下从静止开始沿着斜面向上运动，运动一段时间t时，货物做匀速运动，电动机突发故障，无法正常工作，使得绳子上拉力为零，货物继续沿斜面向上运动一段位移后最终停在斜面上。已知电动机工作时输出的功率恒为P，货物与斜面间的动摩擦因数为tanθ，重力加速度为g。求：

（1）货物在运动过程中的最大速度；

（2）整个过程中，货物在斜面上运动的位移犬小。

05 利用动能定理解决物体在传送带上的运动问题

25．（20-21高一下·四川绵阳·期末）如图所示，传送带由电动机带动，始终保持速度v匀速运动，质量为m的物体由静止释放到水平传送带上，过一会儿与传送带相对静止。关于物体从静止释放到相对传送带静止这一过程，下列说法正确的是（　　）

A．摩擦力对物体做功

B．摩擦力对物体做负功

C．物体与传送带之间摩擦生热

D．由于传送物体，电动机多做功

26．（22-23高一下·黑龙江牡丹江·期末）如图所示，水平传送带左端处与竖直面内的光滑曲面平滑连接，右端处与光滑水平面平滑连接，水平面上固定一个竖直挡板，挡板左侧连接一个轻弹簧，弹簧处于自然状态，弹簧左端刚好处在水平面上的点。光滑曲面上的点距离水平传送带的高度差，传送带长，以速度顺时针转动。一质量为的物块从点由静止释放，已知物块与传送带之间的动摩擦因数为，取，求：

（1）物块第一次滑到曲面底端处的速度大小；

（2）物块第一次到达处的速度大小；

（3）弹簧获得的最大弹性势能。

27．（22-23高一下·福建莆田·期末）中国工程院院士李克强表示，中国既要努力攻克核心关键技术，勇攀世界科技高峰；又要将科研成果转化为生产力，解决国家和产业的重大需求。如图所示为一高端全自动马克系传送带，一质量为m=2 kg的滑块从半径为R=0.2 m的光滑四分之一圆弧轨道的顶端A处由静止滑下，A点和圆弧对应的圆心O点等高，圆弧的底端B与水平传送带平滑相接。已知传送带匀速运行的速度为v₀=4 m/s，B点到传送带右端C点的距离为L=2 m。当滑块滑到传送带的右端C时，其速度恰好与传送带的速度相同。（g=10 m/s²），求：

（1）滑块到达底端B时对轨道的压力；

（2）滑块与传送带间的动摩擦因数μ；

（3）此过程中，由于滑块与传送带之间的摩擦而产生的热量Q。

28．（22-23高一下·内蒙古包头·期末）如图所示，一倾角为37°足够长的倾斜传送带以速度v顺时针匀速运行，与一半径为光滑固定圆弧轨道相切于A点，质量为的物块以一沿传送带向下的初速度从传送带顶端的A点出发，物块与传送带之间的动摩擦因素，重力加速度g取，求：

（1）物块在传送带上匀变速运动过程中加速度的大小和方向；

（2）若在轨道最高点C物块对轨道的压力为35N，传送带的速度v的大小；

（3）为使物块到达最高点前不脱离圆弧轨道，传送带速度v的取值范围。

29．（22-23高一下·山东德州·期末）如图所示，半径的四分之一光滑圆弧轨道AB，在最低点B与水平传送带相切，传送带以的速度顺时针转动。质量为的物块从A点静止滑下，物块与传送带的动摩擦因数，出传送带后滑上倾角的木板（木板在C点与传送带平滑连接），物块与木板的动摩擦因数为。已知BC之间的距离，重力加速度g取。求：

（1）物块滑到B点时，轨道对物块的支持力大小；

（2）物块滑到C点时速度的大小；

（3）物块第一次滑上木板后距C点的最大距离。

30．（22-23高一下·江西吉安·期末）如图所示，光滑水平台上有一根轻弹簧左端固定于竖直墙上，右端被质量可视为质点的小物块压缩而处于静止状态，且弹簧与物块不栓接，弹簧原长小于光滑平台的长度。在平台的右端有一传送带，AB长，物块与传送带间的动摩擦因数，与传送带相邻的粗糙水平面BC长，它与物块间的动摩擦因数，在C点右侧有一半径为R的光滑竖直圆弧与BC平滑连接﹐圆弧对应的圆心角为，在圆弧的最高点F处有一固定挡板，物块撞上挡板后会以原速率反弹回来。若传送带以的速率顺时针转动，不考虑物块滑上和滑下传送带的机械能损失。当弹簧储存的能量全部释放时，小物块能滑到圆轨道上，取。求：

（1）小物块离开弹簧后第一次经过B点时速度多大？

（2）若小物块离开弹簧后刚好能到达E点，求右侧圆弧的轨道半径R应该为多大？

（3）在满足（2）问中R值的情况下，若传送带的速度调为，通过计算分析小物块能否与挡板碰撞？

06 利用动能定理求解其他问题

31．如图所示，在轻弹簧的下端悬挂一个质量为m的小球A，若将小球A从弹簧的原长位置由静止释放，小球A能够下降的最大高度为h。若将小球A换为质量为3m的小球B，仍从弹簧原长位置由静止释放，则小球B下降h时的速度为（重力加速度为g，不计空气阻力）（　　）

A． B． C． D．

32．（22-23高一下·广东广州·期末）如图所示，质量为M、长度为L的木板静止在光滑的水平面上，质量为m的小物块（可视为质点）放在木板的最左端，现用一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动，物块和木板之间的滑动摩擦力为f，物块滑到木板的最右端时，木板运动的距离为s，在这个过程中，以下结论正确的是（　　）

A．恒力F所做的功为FL

B．物块的动能增加

C．物块到达木板最右端时，系统产生的热量为fL

D．拉力做的功等于物块和木板机械能的增加量

33．（22-23高一下·河北承德·期末）一爱好轮滑的同学在轮滑场上练习轮滑时，有两个用相同材料铺设的轮滑轨道，高度相同，I轨道向外凸起，II轨道向内凹进，如图所示。该同学多次从两轨道上等高的A、C两点由静止滑下，当到达轨道底端的等高点B、D时，速度大小总是一个大、另一个小，则下列说法正确的是（　　）

A．下滑的过程中在Ⅰ轨道上摩擦力对该同学做的功大于在Ⅱ轨道上摩擦力对该同学做的功

B．该同学到达B点时的速度总是大于到达D点时的速度

C．在经过两轨道上某等高点时，I轨道受到该同学的压力大

D．在II轨道上下滑的过程中该同学克服重力做功的功率一定越来越大

34．（多选）（22-23高一下·河南南阳·期末）如图所示，一个小球在真空中做自由落体运动，另一个同样的小球在黏性较大的油中由静止开始下落。它们都由高度为的地方下落到高度为的地方。在这两种情况下（　　）

A．重力对小球做的功相等 B．小球的重力势能的变化相等

C．小球的动能的变化相等 D．小球运动到高度为的地方时重力的功率相等

35．（多选）（21-22高一下·陕西西安·期末）如图所示为水平导轨，、为固定的弹性竖直挡板，相距，小球自板处开始，以速度沿导轨向运动，它与、挡板碰撞后均以与碰前大小相等的速率反弹回来，且在导轨上做减速运动的加速度大小不变。小球最终停在两板正中间，则加速度的大小可能是（　　）

A． B． C． D．

36．（2023·山东威海·二模）如图所示，光滑的水平地面上固定一倾角为37°的斜面，斜面顶端固定一光滑定滑轮。轻绳跨过定滑轮连接A、B两小滑块，A、B分别静止于斜面和地面上，左侧轻绳平行于斜面，右侧轻绳竖直且长度为2m。现给B一水平向右3m/s的初速度，当B向右运动1.5m时，A的速度大小为1.2m/s，A、B的质量比为1：2，重力加速度取10m/s²，sin37°=0.6，求：

（1）此时B的速度大小；

（2）A与斜面间的动摩擦因数。