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习题课三　圆周运动的临界问题

要点一　竖直面内圆周运动的“轻绳”“轻杆”模型

1.轻绳和轻杆模型概述

在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑（如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等），称为轻绳模型；二是有支撑（如球与杆连接，小球在弯管内运动等），称为轻杆模型。

2.两类模型对比

特别提醒

（1）绳模型和杆模型过最高点的临界条件不同，其原因是绳不能提供支持力，而杆可以提供支持力。

（2）对杆模型，在无法确定位于最高点时杆对物体提供的是支持力还是拉力的情况下，可用假设法列平衡方程，然后根据结果的正、负确定力的方向。

（3）解答竖直平面内的圆周运动问题时，首先要搞清楚是什么模型，再根据不同模型的临界条件分析受力，找到向心力的来源。

【典例1】　如图所示，长度为L＝0.4 m 的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为 m＝0.5 kg，小球半径不计，g取 10 m/s²，求：

（1）小球刚好通过最高点时的速度大小；

（2）小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，绳的拉力大小；

（3）若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球运动过程中速度的最大值。

答案：（1）2 m/s　（2）15 N　（3）4 m/s

解析：（1）小球刚好能够通过最高点时，恰好只由重力提供向心力，故有mg＝m，解得v₁＝＝2 m/s。

（2）小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，拉力和重力的合力提供向心力，则有F_T＋mg＝m，解得F_T＝15 N。

（3）分析可知小球通过最低点时绳张力最大，速度最大，在最低点由牛顿第二定律得F_T'－mg＝，将F_T'＝45 N代入解得v₃＝4 m/s，即小球的速度的最大值为4 m/s。

【典例2】　（2024·江苏徐州期中）如图甲所示，长为R的轻杆一端固定一个小球，小球在竖直平面内绕轻杆的另一端O做圆周运动，小球到达最高点时受到杆的弹力F与速度平方v²的关系如图乙所示，则（　　）

A.小球到达最高点的速度不可能为0

B.当地的重力加速度大小为

C.v²＜b时，小球受到的弹力方向竖直向下

D.v²＝c时，小球受到的弹力方向竖直向下

答案：D

解析：因杆既能提供支持力，又能提供拉力，则轻杆模型的最高点临界条件是v＝0，则有a＝mg即小球到达最高点的最小速度为0，故A错误；由F-v²图像可知，在0≤v²＜b时，以较小速度通过最高点，杆提供支持力，方向竖直向上，由牛顿第二定律有 mg－F＝m，可得F＝mg－m，随着通过最高点速度增大，杆的支持力逐渐减小，而当v²＝b时，有F＝0，即mg＝m，解得g＝，故B、C错误；由以上分析可知，在b＜v²时，以较大速度通过最高点，杆提供拉力，由牛顿第二定律有mg＋F＝m，可得F＝m－mg，大小随着速度增大而增大，而v²＝c＞b，则小球受到的弹力方向一定竖直向下，故D正确。

规律方法

竖直平面内的圆周运动问题的求解思路

1.如图所示，竖直平面内固定有一个半径为R的光滑圆环形细管，现给小球（直径略小于管内径）一个初速度，使小球在管内做圆周运动，小球通过最高点时的速度为v。已知重力加速度为g，则下列叙述中正确的是（　　）

A.v的最小值为

B.当v＝时，小球处于完全失重状态，不受力的作用

C.当v＝时，轨道对小球的弹力方向竖直向下

D.当v由逐渐减小的过程中，轨道对小球的弹力也逐渐减小

解析：C　小球通过最高点时细管可以提供竖直向上的支持力，当支持力的大小等于小球重力的大小，小球的最小速度为零，故A错误；根据公式a＝可知，当v＝时，小球的加速度为a＝g，方向竖直向下，则小球处于完全失重状态，只受重力作用，故B错误；当v＝时，小球需要的向心力为F_n＝m＝2mg，则轨道对小球的弹力大小为mg，方向竖直向下，故C正确；当v＜时，小球需要的向心力F_n＝m＜mg，可知小球受轨道竖直向上的弹力，由牛顿第二定律有mg－F_N＝m，可得 F_N＝mg－m，则v逐渐减小的过程中，轨道对小球的弹力F_N逐渐增大，故D错误。

要点二　水平面内圆周运动的临界问题

1.圆周运动常见的两种临界状态

（1）与绳或杆的弹力有关，弹力恰好为0。

（2）与静摩擦力有关，静摩擦力达到最大值。

2.范围的求解

先针对临界状态根据圆周运动的知识求解临界值，再按题意要求指出物理量的合理取值范围。

3.两类情况分析

（1）恰好不相对滑动

质量为m的物体随圆盘一起转动（如图甲所示）时，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大值F_fm时，物体运动的速度也达到最大，即F_fm＝m，解得v_m＝。

（2）绳子恰好不被拉断

质量为m的物体被长为l的轻绳拴着（如图乙所示），且绕绳的另一端O在水平面内做匀速圆周运动，当绳子的拉力达到最大值F_m时，物体的速度最大，即F_m＝m，解得v_m＝。这就是物体在半径为l的圆周上运动的临界速度。

【典例3】　如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R。当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是（　　）

A.A的向心加速度最大

B.B和C所受摩擦力大小相等

C.当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动

D.当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动

答案：C

解析：A、B、C三物体角速度相同，根据a_n＝ω²r，可知物体C的向心加速度最大，选项A错误；摩擦力提供向心力，则F_fB＝mω²R，F_fC＝mω²·（2R），物体B所受摩擦力小于物体C所受摩擦力，选项B错误；物体恰好滑动时kmg＝mω²r，ω＝，滑动的临界角速度与质量无关，r越大，临界角速度越小，故物体C先滑动，A、B同时滑动，选项C正确，D错误。

【典例4】　如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，当轻杆绕轴OO'以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平面成θ角，b绳平行于水平面且长为l，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）

A.a绳可能不受拉力作用

B.a绳所受拉力随角速度的增大而增大

C.当角速度ω＞ 时，b绳将出现弹力

D.若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化

答案：C

解析：对小球受力分析可得a绳的弹力在竖直方向的分力平衡了小球的重力，解得F_Ta＝，为定值，A、B错误；当F_Tacos θ＝mω²l，即ω＝时，b绳的弹力为零，若角速度大于该值，则b绳将出现弹力，C正确；由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，D错误。

2.如图，一硬币（可视为质点）置于水平圆盘上，硬币与竖直转轴OO'的距离为r，已知硬币与圆盘之间的动摩擦因数为μ（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），重力加速度大小为g。若硬币与圆盘一起绕OO'轴匀速转动，则圆盘转动的最大转速为（　　）

A. B.

C. D.

解析：B　硬币在圆盘上受重力、支持力和摩擦力三个力的作用，摩擦力提供向心力，当摩擦力达到最大静摩擦力时，角速度最大，由牛顿第二定律有μmg＝mω²r，可得最大角速度为ω＝，由角速度与转速的关系ω＝2πn，得最大转速为n＝，故选B。

1.有一种大型游戏器械，它是一个圆筒形大容器，筒壁竖直，游客进入容器后靠筒壁站立，当圆筒开始转动，转速加快到一定程度时，突然地板塌落，游客发现自己没有落下去，此后有关游客的下列判断正确的是（　　）

A.游客受三个力，分别是重力、摩擦力、离心力

B.转速增大，游客受到的弹力必增大

C.转速增大，游客受到的摩擦力也增大

D.随着转速的增大，由离心现象可知，游客有沿壁向上滑动的趋势

解析：B　游客受三个力，分别是重力、静摩擦力和弹力，选项A错误；弹力提供向心力，转速增大，所需要的向心力增大，则游客受到的弹力必增大，选项B正确；游客受到的静摩擦力与重力平衡，虽然转速增大，摩擦力不变，选项C错误；转速增大，弹力增大，但静摩擦力不变，游客没有向上滑动的趋势，选项D错误。

2.如图甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与过最高点时小球的速度平方的关系如图乙所示（取竖直向下为正方向）。MN为通过圆心的一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g。则下列说法中正确的是（　　）

A.管道的半径为

B.小球的质量为

C.小球在MN以下的管道中运动时，内侧管壁对小球可能有作用力

D.小球在MN以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力

解析：B　由题图乙可知，当v²＝b，F_N＝0时，mg＝m，解得R＝，故A错误；当v²＝0时，mg＝a，所以m＝，故B正确；小球在水平线MN以下的管道中运动时，由于向心力的方向要指向圆心，则管壁必然要提供指向圆心的支持力，只有外壁才可以提供这个力，所以内侧管壁对小球没有力，故C错误；小球在水平线MN以上的管道中运动时，重力沿径向的分量必然参与提供向心力，可能是外侧管壁受力，也可能是内侧管壁对小球有作用力，还可能均无作用力，故D错误。

3.（2024·江苏扬州中学期末）如图所示 ，半径为R的半球形容器固定在水平转台上，转台绕过容器球心O的竖直轴线以角速度ω匀速转动。质量不同的小物块A、B随容器转动且相对器壁静止，A、B和球心O的连线与竖直方向的夹角分别为α和β，α＞β，则（　　）

A.A的质量一定小于B的质量

B.A、B受到的摩擦力可能同时为零

C.若A不受摩擦力，则B受沿容器壁向上的摩擦力

D.若ω增大，A、B受到的摩擦力可能都增大

解析：D　当B不受摩擦力时，对其受力分析如图所示，根据牛顿第二定律得mgtan β＝mRsin β，解得ω_B＝，同理可得，当A不受摩擦力时，ω_A＝，可知物块转动角速度与物块的质量无关，所以无法判断质量的大小，由于α＞β，所以ω_A＞ω_B，则A、B受到的摩擦力不可能同时为零，选项A、B错误；若A不受摩擦力，此时转台的角速度为ω_A，所以物块B的向心力大于摩擦力为零时的向心力，此时B受沿容器壁向下的摩擦力，如果转台角速度从ω_A开始增大，A、B的向心力都增大，所受的摩擦力都增大，选项C错误，D正确。

4.（2024·江苏泰州高一期末）杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直面内做圆周运动。如图所示，杯内水的质量m＝0.5 kg，绳长l＝60 cm，取g＝10 m/s²，求：

（1）在最高点水不流出的最小速率；

（2）水在最高点速率v＝3 m/s时，水对杯底的压力大小。

答案：（1） m/s　（2）10 N

解析：（1）在最高点水不流出的临界条件是水的重力恰好提供水做圆周运动所需的向心力，即

mg＝m，r＝

解得v_min＝ m/s。

（2）因为3 m/s＞ m/s，所以水的重力不足以提供水做圆周运动所需的向心力，所以对于水有F_N＋mg＝m

解得F_N＝10 N

由牛顿第三定律可知，水对杯底的压力为F_N'＝F_N＝10 N。

要点一　竖直面内圆周运动的“轻绳”“轻杆”模型

1.如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆轨道上做圆周运动，圆轨道半径为R，小球经过圆轨道最高点时刚好不脱离圆轨道。则其通过最高点时（　　）

A.小球对圆轨道的压力大小等于mg

B.小球的向心力由重力和轨道的弹力提供

C.小球的线速度大小等于

D.小球的向心加速度大小等于g

解析：D　因为小球刚好在最高点不脱离圆轨道，则在最高点轨道对小球的弹力为零，由牛顿第三定律可知小球对圆轨道的压力为零，此时小球的向心力由重力提供，A、B错误；根据牛顿第二定律得mg＝m＝ma，线速度v＝，向心加速度 a＝g，C错误，D正确。

2.如图所示，轻杆一端固定在水平转轴O上，另一端固定一个小球，轻杆随转轴在竖直平面内做圆周运动，当小球运动至最高点时，轻杆对小球的作用力（　　）

A.方向一定竖直向上

B.方向一定竖直向下

C.大小可能为0

D.大小不可能为0

解析：C　设杆长为R，当重力刚好提供小球做圆周运动的向心力时，杆对小球无作用力，此时有 mg＝m，解得v＝，当v＞时，杆对小球提供拉力，当v＜时，杆对小球提供支持力，故C正确，A、B、D错误。

3.如图所示，某轻杆一端固定一质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，重力加速度为g，以下说法中正确的是（　　）

A.小球过最高点时，杆所受的弹力不可以为零

B.小球过最高点时，最小速度为

C.小球过最低点时，杆对球的作用力不一定与小球所受重力方向相反

D.小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定大于或等于杆对球的作用力

解析：D　小球在最高点时，如果速度恰好为，则此时恰好由重力提供向心力，杆和球之间没有作用力，杆所受弹力为0，如果速度小于此值，重力大于所需要的向心力，杆就要对球有支持力，方向与重力的方向相反，杆的作用力F＝mg－，此时重力一定大于或等于杆对球的作用力，故A、B错误，D正确；小球过最低点时，杆对球的作用力方向竖直向上，与重力方向一定相反，故C错误。

4.在如图所示的光滑轨道上，小球滑下经平直部分冲上圆弧部分的最高点A时，对圆弧的压力为mg，已知圆弧的半径为R。则（　　）

A.在最高点A，小球受重力和向心力

B.在最高点A，小球受重力、圆弧的压力和向心力

C.在最高点A，小球的速度为

D.在最高点A，小球的向心加速度为2g

解析：D　向心力是效果力，由其他力提供，故小球受向心力这种说法错误，A错误；小球受重力，由题意可知，小球冲上圆弧部分的最高点A时，对圆弧的压力为mg，由牛顿第三定律可知，小球也受圆弧的压力，但不能说受到向心力，B错误；在最高点A，由向心力公式mg＋mg＝m，解得v＝，C错误；在最高点A，由牛顿第二定律有mg＋mg＝ma，解得a＝2g，D正确。

5.（2024·江苏徐州月考）某飞行员的质量为m，驾驶飞机在竖直面内以速度v做半径为R的匀速圆周运动，飞行员对座椅的压力在最低点比最高点大（设飞行员始终垂直于座椅的表面）（　　）

A.mg B.2mg

C.mg＋ D.2

解析：B　在最高点有F₁＋mg＝m，解得F₁＝m－mg；在最低点有F₂－mg＝m，解得F₂＝mg＋m。所以由牛顿第三定律可知，F₂'－F₁'＝F₂－F₁＝2mg，B正确。

要点二　水平面内圆周运动的临界极值问题

6.如图所示，在匀速转动的水平圆盘上离转轴某一距离处放一小木块，该木块恰能跟随圆盘做匀速圆周运动而不发生相对滑动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则在改变下列哪种条件时，物体仍能与圆盘保持相对静止（　　）

A.增大圆盘转动的角速度

B.增大木块到转轴的距离

C.增大木块的质量

D.改变上述的任一条件都不能使木块与圆盘继续保持相对静止

解析：C　木块刚要发生相对滑动时，最大静摩擦力提供向心力，此时有μmg＝mω²r，角速度ω增大，所需要的向心力F_n＝mω²r增大，mω²r将大于最大静摩擦力μmg而发生相对滑动，故A错误；木块到转轴的距离越大，需要的向心力F_n＝mω²r越大，则会发生滑动，故B错误；木块在圆盘上发生相对滑动的临界状态是μmg＝mω²r，由此可知与质量无关，所以增大木块的质量仍能保持相对静止，故C正确，D错误。

7.如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　）

A.A、B都有沿切线方向且向后滑动的趋势

B.B运动所需的向心力大于A运动所需的向心力

C.盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍

D.若B相对圆盘先滑动，则A、B间的动摩擦因数μ_A小于盘与B间的动摩擦因数μ_B

解析：C　把A、B当成一个整体，在水平方向上只受摩擦力作用，摩擦力即物块所受合外力，提供向心力，摩擦力方向指向圆心，物块有沿径向向外滑动的趋势，故A错误；物块做匀速圆周运动，向心力F＝mω²R，A、B质量相同，一起做匀速圆周运动的角速度、半径也相等，两者运动所需的向心力相等，故B错误；由受力分析可知B对A的摩擦力等于F，盘对B的摩擦力等于2F，故C正确；若B相对圆盘先滑动，则2μ_Bmg－μ_Amg＜μ_Amg，即μ_B＜μ_A，故D错误。

8.如图，在水平转台上放一个质量M＝2 kg的木块A，它与转台间的最大静摩擦力F_fmax＝6.0 N，绳的一端系着木块，通过转台的中心孔O（孔光滑），另一端悬挂一个质量m＝1.0 kg的物体B，当转台以角速度ω＝5 rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可以是（g取10 m/s²，木块和物体均可看成质点）（　　）

A.0.04 m B.0.08 m

C.0.06 m D.0.36 m

解析：B　木块所受的摩擦力和绳子对木块的拉力的合力提供木块做匀速圆周运动所需的向心力，根据向心力公式得mg＋F_f＝Mω²r，解得r＝ ；当F_f＝F_fmax＝6.0 N时，r最大，r_max＝ m＝0.32 m，当F_f＝－6 N时，r最小，则 r_min＝ m＝0.08 m，故B正确，A、C、D错误。

9.如图所示，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO'的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（　　）

A.b一定比a先开始滑动

B.a、b所受的摩擦力始终相等

C.ω＝是a开始滑动的临界角速度

D.当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg

解析：A　小木块a、b做匀速圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即F_f＝mω²R。当角速度增大时，静摩擦力增大，增大到最大静摩擦力时，开始发生相对滑动，对木块a：F_fa＝ml，当F_fa＝kmg时，kmg＝ml，可得ω_a＝；对木块b：F_fb＝m·2l，当 F_fb＝kmg时，kmg＝m·2l，可得ω_b＝，所以b先达到最大静摩擦力，即b先开始滑动，选项A正确，C错误；两木块滑动前转动的角速度相同，则F_fa＝mω²l，F_fb＝mω²·2l，F_fa＜F_fb，选项B错误；ω＝＜ω_a，a没有滑动，则F_fa＝mω²l＝kmg，选项D错误。

10.如图，叠放在水平转台上的物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，A和B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　）

A.B对A的摩擦力一定为3μmg

B.桌面对B的摩擦力一定为2mω²r

C.转台的角速度一定满足ω≤

D.转台的角速度一定满足ω≤

解析：D　对物体A、B整体分析，水平方向上，B与桌面的静摩擦力提供向心力，则F_向＝5mω²r＝F_fB，对A进行受力分析，水平方向上，B对A的摩擦力提供向心力，则F_向＝3mω²r＝F_fA，A、B错误；因为三个物体转动的角速度一样，且动摩擦因数也一样，但物体C的半径大，所以若增大角速度，C先达到滑动的临界点，故mω²×1.5r≤μmg，整理得到 ω≤，C错误，D正确。

11.（2024·江苏苏州期末）如图甲所示，轻杆一端固定一小球（视为质点），另一端套在光滑水平轴O上，O轴的正上方有一速度传感器，可以测量小球通过最高点时的速度大小v；O轴处有力传感器（传感器均未在图中画出），可以测量小球通过最高点时O轴受到杆的作用力F，若以竖直向下为力的正方向，得到F-v²图像如图乙所示。g取10 m/s²，求：

（1）小球恰好通过最高点时的速度大小；

（2）小球的质量及做圆周运动的半径；

（3）小球在最高点的速度大小为5 m/s时，杆受到球的作用力。

答案：（1）0　（2）2 kg　1 m　（3）30 N　方向竖直向上

解析：（1）小球在竖直平面内做圆周运动，是轻杆模型，因此小球恰好通过最高点时的速度大小是零。

（2）由图乙可知，当小球通过最高点速度是零时，杆上的作用力为20 N，可知小球的质量为2 kg。

小球通过最高点速度不是零时，若只有小球重力提供向心力，可知O轴受到杆的作用力是零，即杆对小球上的作用力是零，此时速度的平方为10 m²/s²，设轻杆的长度为L，则有 

mg＝m

解得L＝1 m

即小球做圆周运动的半径为1 m。

（3）小球在最高点的速度大小为5 m/s时，由牛顿第二定律可得mg＋F_N＝m

解得F_N＝m－mg＝30 N

由牛顿第三定律可知，杆受到球的作用力大小为30 N，方向竖直向上。

12.如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为F_T。（g取10 m/s²，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，结果可用根式表示）

（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω₀至少为多大？

（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω'为多大？

答案：（1） rad/s　（2）2 rad/s

解析：（1）若小球刚好要离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，受力分析如图所示。小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力方向水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得mgtan θ＝mlsin θ

解得ω₀＝＝ rad/s。

（2）当细线与竖直方向成60°角时，小球已离开锥面，由牛顿第二定律及向心力公式得mgtan α＝mω'²lsin α

解得ω'＝＝2 rad/s。