（2024·甘肃·一模）半径为R的光滑圆环可绕过圆心的竖直轴OO′转动。质量为m的小球套在圆环上，原长为1.5R的轻质弹簧一端固定在小球上，另一端固定在圆环顶端O点。整个系统静止时，小球在O′点处于平衡且对圆环无压力。重力加速度为g。
（1）当圆环以角速度ω0转动时，小球在P点相对圆环静止，∠POO′ = α，sinα = 0.6，求弹簧弹力的大小及角速度ω0；（sin2α = 0.96，cos2α = 0.28）
（2）利用F—x图像，证明小球从O′点运动到P点的过程中，弹簧弹力（F = −kx）所做的功为
，其中x1和x2分别为小球在O′和P点处弹簧的伸长量；
（3）圆环开始转动后，小球受轻微扰动离开O′，当转速逐渐增大到ω0时，小球沿圆环缓慢上移到P点并相对圆环静止。求此过程中圆环作用在小球上的合力做的功。
【答案】（1）
，
；（2）见解析；（3）W作 = 1.92mgR
【知识点】应用动能定理求变力的功、弹簧弹力做功的计算、通过牛顿第二定律求解向心力
【详解】（1）小球在
点处于平衡且对圆环无压力，有
小球在
点相对圆环静止而做匀速圆周运动，弹簧的长度为
由胡克定律有
对小球受力分析，由牛顿第二定律有
联立解得
（2）根据胡克定律
可知，弹力与形变量成正比，如图所示
则弹力的功为图像与横轴围成的面积，有
化简可得
（3）小球沿圆环缓慢上移到
点并相对圆环静止，由动能定理有
解得
设此过程中圆环作用在小球上的合力做的功为W作，其中
W总 = －mgR(1－cos2α)＋W弹＋W作
对于弹力做功，其中
x1 = 0.5R，x2 = 0.1R
代入数据有
W作 = 1.92mgR
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