一款射击玩具由小球和发射器组成，其发射装置可以简化为如图所示的模型。小球的质量为m，可视为质点。发射器的核心部件为一个轻弹簧，其原长为2L、劲度系数
，某次发射时，发射器与水平方向的夹角为30°，初始时小球位于弹簧原长O点处，以O点为坐标原点，沿发射器向下为x轴正方向，用变力F沿x轴方向极其缓慢地移动小球，将弹簧压缩L（没有超过弹簧的弹性限度）。已知重力加速度为g，不计一切摩擦和空气阻力。
（1）在小球沿x轴向下缓慢移动到
的过程中：
a．求当弹簧的压缩量为
时，变力F的大小；
b．请在图中画出变力F随小球位置x变化的图像，并求此过程中变力F做的功
；
（2）当小球沿x轴向下缓慢移动到
时，突然撤去力F，结合弹簧弹力与形变量关系的图像：
a．求小球向上运动至发射器出口前的过程中获得的最大速度
；
b．若小球射出后在下落过程中击中与出口O点水平距离为
的竖直墙面，如图所示。为使小球垂直击中竖直墙面，在不改变其他条件且不超过弹簧弹性限度的情况下，发射过程中应将弹簧最大压缩量增大还是减小？仿照平抛运动的处理方法，推导论证你的猜想。
【答案】（1）a．F=0，b．见解析，
；（2）a．
，b．增大，见解析
【知识点】平抛运动的概念、弹簧类问题机械能转化的问题
【详解】（1）a．小球沿x轴向下缓慢移动过程受力平衡，弹簧的压缩量为
时
可知
F=0b．小球缓慢下移过程受力平衡，根据题意，以O点为坐标原点，沿发射器向下为x轴正方向，有
可得
画出图像如图
根据图像与横轴围成的面积为力F做的功，可得
（2）a．当弹簧的弹力等于重力的分力时，速度最大，即
可知，当
时，速度最大，根据弹簧弹力与形变量关系的线性图像，可知图线与x轴包围的面积为弹簧弹力做的功，再根据弹簧弹力做的功与弹性势能减少量之间的关系，以弹簧原长为零势能参考点，可知弹性势能的表达式
小球由最大位移x1=L至
过程中，由机械能守恒定律
解得
b．应将弹簧最大压缩量增大。仿照平抛运动，采用运动的合成与分解的方法，可以将该运动分解为两个分运动：水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。设从发射器出口射出时小球的速度大小为
，小球从射出到运动到最高点的时间为t，根据题中最右侧图所示，小球下落过程击中墙面，因此小球运动到最高点时，在水平方向的位移一定小于s，水平方向
竖直方向
联立可得
①
若小球垂直击中竖直墙面，则小球在空中的运动在竖直墙面处刚好为运动的最高点，设从发射器出口射出时小球的速度大小为
，小球在水平方向的位移为s，联系①式可知
②
比较①②两式，可得
小球从发射到发射器出口射出的过程中，设初始时弹簧的压缩量为
，根据机械能守恒定律
解得
分析可知，当
时，小球不能从发射器出口射出；当
时，小球从发射器出口射出时的速度小于
；当
时，小球从发射器出口射出时的速度会大于
。所以要使出口速度增大，应该增大弹簧的压缩量。
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