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学习
一款射击玩具由小球和发射器组成,其发射装置可以简化为如图所示的模型。小球的质量为m,可视为质点。发射器的核心部件为一个轻弹簧,其原长为2L、劲度系数,某次发射时,发射器与水平方向的夹角为30°,初始时小球位于弹簧原长O点处,以O点为坐标原点,沿发射器向下为x轴正方向,用变力F沿x轴方向极其缓慢地移动小球,将弹簧压缩L(没有超过弹簧的弹性限度)。已知重力加速度为g,不计一切摩擦和空气阻力。
(1)在小球沿x轴向下缓慢移动到的过程中:
a.求当弹簧的压缩量为时,变力F的大小;
b.请在图中画出变力F随小球位置x变化的图像,并求此过程中变力F做的功;
(2)当小球沿x轴向下缓慢移动到时,突然撤去力F,结合弹簧弹力与形变量关系的图像:
a.求小球向上运动至发射器出口前的过程中获得的最大速度;
b.若小球射出后在下落过程中击中与出口O点水平距离为的竖直墙面,如图所示。为使小球垂直击中竖直墙面,在不改变其他条件且不超过弹簧弹性限度的情况下,发射过程中应将弹簧最大压缩量增大还是减小?仿照平抛运动的处理方法,推导论证你的猜想。
【答案】(1)a.F=0,b.见解析,;(2)a.
,b.增大,见解析
【知识点】平抛运动的概念、弹簧类问题机械能转化的问题
【详解】(1)a.小球沿x轴向下缓慢移动过程受力平衡,弹簧的压缩量为时
可知
F=0b.小球缓慢下移过程受力平衡,根据题意,以O点为坐标原点,沿发射器向下为x轴正方向,有
可得
画出图像如图
根据图像与横轴围成的面积为力F做的功,可得
(2)a.当弹簧的弹力等于重力的分力时,速度最大,即
可知,当时,速度最大,根据弹簧弹力与形变量关系的线性图像,可知图线与x轴包围的面积为弹簧弹力做的功,再根据弹簧弹力做的功与弹性势能减少量之间的关系,以弹簧原长为零势能参考点,可知弹性势能的表达式
小球由最大位移x1=L至过程中,由机械能守恒定律
解得
b.应将弹簧最大压缩量增大。仿照平抛运动,采用运动的合成与分解的方法,可以将该运动分解为两个分运动:水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。设从发射器出口射出时小球的速度大小为
,小球从射出到运动到最高点的时间为t,根据题中最右侧图所示,小球下落过程击中墙面,因此小球运动到最高点时,在水平方向的位移一定小于s,水平方向
竖直方向
联立可得
①
若小球垂直击中竖直墙面,则小球在空中的运动在竖直墙面处刚好为运动的最高点,设从发射器出口射出时小球的速度大小为,小球在水平方向的位移为s,联系①式可知
②
比较①②两式,可得
小球从发射到发射器出口射出的过程中,设初始时弹簧的压缩量为,根据机械能守恒定律
解得
分析可知,当时,小球不能从发射器出口射出;当
时,小球从发射器出口射出时的速度小于
;当
时,小球从发射器出口射出时的速度会大于
。所以要使出口速度增大,应该增大弹簧的压缩量。