XueXi.Design - 学习

如图甲所示，水平轨道ABEF之间有一凹槽，凹槽中放置一长度与凹槽相同且不粘连的长木板，其质量m₃ = 2m，长木板的上表面与轨道AB和EF齐平，并固定一轻质半圆管道CD，其半径为R。忽略管的内径，O为管道的圆心。质量为m₂ = m的物块2静止在长木板上表面的左端，一质量为的物块1以一定的初速度向右运动，与物块2发生弹性碰撞，1和2均可视为质点，物块2进入管道后恰能到达最高点，重力加速度取g，不计一切摩擦。

(1)求物块1的初速度大小v₀；

(2)物块2运动到管形轨道内的某位置时，与管内壁和外壁均无相互作用力，求该位置与O点连线和OD之间夹角的余弦值；

(3)若将轻质半圆管道换成轻质半圆轨道，如图乙所示，物块2经碰撞后以的速度进入C点且能通过半圆轨道的最高点D，为使长木板不与凹槽底部脱离，求k的取值范围。

【答案】(1)

(2)

(3)

【知识点】利用动量守恒及能量守恒解决（类）碰撞问题

【详解】（1）设物块1与物块2发生弹性碰撞后的速度分别为v₁和v₂，由动量守恒和机械能守恒得

物块2进入管道后恰能到达最高点，物块2在最高点的速度大小为0，由动能定理得

联立解得

（2）设物块2运动到管形轨道内的P点时，与管内壁和外壁均无相互作用力，此时OP和OD之间的夹角为θ，物块2的速度大小为v_P，由动能定理得

重力指向圆心的分力提供向心力，则

解得

（3）将轻质半圆管道换成轻质半圆轨道，物块2经碰撞后以的速度进入C点且能通过半圆轨道的最高点D，设物块2在最高点的速度为vD，则

由动能定理得

解得

设物块2运动到轻质半圆轨道的Q点时的速度为vQ，此时OQ和OD之间的夹角为α（0 ≤ α ≤ 90°），轨道对物块2的作用力为F_N，长木板刚好不与凹槽底部脱离，则

由动能定理得

解得

当且仅当

即时，k取得最小值

若k值超过k_min，则物块2运动到此位置后，速度将过大，所需要的向心力也过大，对半圆轨道的作用力的竖直分力大于m₃g，所以长木板与凹槽底部脱离。

综上所述，k的取值范围为。