如图所示，光滑的水平轨道右端固定有竖直挡板，挡板上端与固定的竖直光滑半圆形轨道在A点连接，AB为半圆形轨道的竖直直径。在水平轨道左端静止放置一长木板，其上表面与A点等高，并且长木板与竖直挡板碰撞后会立即停止运动。在长木板的左端静止着一可视为质点的小物块，小物块在A点自长木板滑上半圆形轨道时无机械能损失。某时刻使小物块瞬间获得水平向右的大小为
的初速度。已知小物块的质量
，长木板的质量
，半圆形轨道的半径
，小物块与长木板上表面间的动摩擦因数
，不计空气阻力，取
。
(1)若长木板与竖直挡板碰撞时小物块与长木板已经相对静止，且小物块能够进入半圆形轨道，求长木板的长度L需要满足的条件；
(2)若长木板与竖直挡板碰撞时小物块恰好滑离长木板，之后脱离半圆形轨道后又经
第一次落在右侧无限长的水平地面上，自脱离半圆形轨道至第一次落地的水平位移大小
。
（i）求小物块离开半圆形轨道时的速度大小；
（ii）求满足该运动的长木板的长度；
（iii）小物块每次与地面碰撞后都会反弹，速度与水平地面的夹角在每次碰撞前后均相等，速度大小在每次碰撞后均会减小为该次碰撞前的
，整个过程小物块一直在同一竖直面内运动，求小物块停止运动时距AB的水平距离。
【答案】(1)
(2)（i）5m/s，（ii）
，（iii）
【知识点】应用动能定理解多段过程问题、利用动量守恒及能量守恒解决（类）碰撞问题
【详解】（1）小物块开始滑上长木板至两者速度相同，由动量守恒定律有
解得
由能量守恒定律，有
解得
若小物块不能离开长木板，自长木板停止运动至小物块速度减为0，有
解得
要使长木板与竖直挡板碰撞前小物块与长木板已经相对静止且能够进入竖直半圆形轨道长木板的长度需满足
解得
（2）（i）设小物块离开半圆形轨道时其速度与竖直方向的夹角为
，物块在半圆形轨道上离开时，有
小物块自离开半圆形轨道至第一次落地，水平方向有
解得小物块离开半圆形轨道时的速度大小
（ii）小物块在半圆形轨道上的运动过程，有
联立解得
因为
，所以小物块到达A点前没有与长木板相对静止。自开始运动至小物块刚离开长木板，有
联立解得，长木板的长度
（iii）小物块第一次落地时的水平分速度
竖直分速度
由题意可知，第n次碰撞至第
次碰撞时水平方向的速度
竖直方向的速度
运动时间
水平位移
小物块停止运动时距AB的水平距离
联立解得
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