如图所示，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直平面内，O为圆心、a、b、c、d为圆形轨道上的点，其中ac为竖直直径，b与圆心等高，d和圆心的连线与水平方向的夹角为
。一小球静止在圆形轨道底端a点，某时刻小球获得一个水平向右的瞬时初速度
（未知），已知重力加速度为g，回答下列问题：
(1)若使小球运动过程中不脱离轨道，求小球的初速度
的范围；
(2)若小球在d点脱轨，求小球的初速度
；
(3)以d点为坐标原点，水平方向为x轴（向右为正），竖直方向为y轴（向上为正）建立平面直角坐标系。若小球仍在d点脱轨，求小球脱离轨道后的运动轨迹方程。
【答案】(1)
或
(2)
(3)
【知识点】机械能与曲线运动结合问题、绳球类模型及其临界条件
【详解】（1）小球不脱离轨道分两种情况：小球在下半圆往复运动或小球可以做完整圆周运动。小球在下半圆往复运动的临界情况为小球运动至圆心等高处b时速度为0，由动能定理得
解得
小球可以做完整圆周运动的临界情况为小球在轨道最高点c时
又由动能定理得
解得
所以若使小球在运动过程中不脱离轨道，小球获得的初速度范围为
或
（2）若小球在d点脱轨，则小球在d点时满足
又由动能定理得
解得
（3）小球在d点向左上方
方向脱离轨道做斜抛运动，此时
小球在水平方向做匀速直线运动
竖直方向做竖直上抛运动
消去参数t，解得
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